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Une suite un peu bizarre

Dans cette vidéo, le professeur de mathématiques Antonin explique un exercice tombé à l'écrit d'Oxford en 2020. L'exercice consiste à analyser une somme complexe et à en trouver la généralité. Antonin explique que la clé pour résoudre cet exercice est de comprendre la structure sous-jacente des termes de la somme. Il propose de réécrire la somme en utilisant des carrés pour faciliter l'analyse. Il indique qu'il faut comprendre que les termes de la somme sont des différences entre nombres pairs et impairs. Antonin présente alors une expression générique pour chaque terme de la somme et montre comment simplifier cette expression. Ensuite, il explique que la somme totale peut être calculée en utilisant la linéarité de la somme. Il effectue les calculs nécessaires et obtient la réponse finale. Il termine en encourageant les spectateurs à refaire l'exercice et à comprendre pourquoi certaines intuitions erronées ne fonctionnent pas.
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Aire entre deux courbes

En utilisant la méthode QCM, nous pouvons éliminer certaines réponses évidentes. Nous devons trouver l'air délimité par trois courbes : y = e^x, y = 1 - e^x et l'axe y. On nous demande la valeur de R, qui est une aire, donc positive. On peut remarquer que log(e) = 1 et que log est croissant. Donc, log(2) sera inférieur à 1 car e (environ 2.7) est supérieur à 2. Donc, R sera négatif et peut être éliminé. En faisant un dessin, on peut voir que l'aire R existe entre les courbes e^x, 1 - e^x et l'axe y. Donc, la réponse R = 0 peut également être éliminée. En reliant les courbes e^x et 1 - e^x, on trouve un triangle circulaire dont nous voulons trouver l'aire. Nous devons donc trouver les bornes de l'intégrale, en trouvant la valeur de alpha qui est le point d'intersection des deux courbes. En utilisant l'équation E^(2alpha) = 1 - E^(2alpha), nous trouvons que alpha est égal à -log(2). En substituant alpha dans l'intégrale de E^(2x) - E^(2alpha), nous obtenons R = 1 + alpha = 1 - log(2). Ainsi, nous avons trouvé la réponse recherchée.
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Exponentielle et ses tangentes

Dans cet exercice basé sur la géométrie et les fonctions, des tangentes sont tracées à la fonction y = e^(2x) aux points d'abscisses p et q. Les tangentes croisent l'axe des x aux points a et b respectivement. Il y a une relation entre a, b, p et q qui est exprimée par a - p = b - q. Pour comprendre l'énoncé, une figure peut être tracée. En résolvant les équations des tangentes, on obtient les relations a - p = -1 et b - q = -1. Ainsi, la réponse à l'exercice est a - p = b - q. Il est conseillé de rejoindre la communauté Discord pour obtenir de l'aide supplémentaire.
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Une intégrale à borne variable !

Dans cette vidéo, le professeur revient sur un exercice d'intégration qui est tombé en 2021 lors de l'examen d'admission en mathématiques. Il explique comment résoudre l'exercice de manière optimisée en utilisant les astuces et les formules vues en cours. Le professeur commence par nommer les différentes variables et termes de l'exercice pour faciliter les calculs. Il souligne l'intérêt de bien connaître les primitives pour réussir cet exercice. Il rappelle également un tableau des primitives classiques à connaître, en insistant sur une formule générale puissance alpha, qu'il recommande de retenir. Cette astuce permet de résoudre des exercices plus complexes plus rapidement. Ensuite, il passe au calcul de l'intégrale en question. Il explique comment calculer I2A, la primitive de racine de x et de x2. Il utilise la formule générale puissance alpha pour la racine de x, ce qui simplifie le calcul. Il obtient ainsi l'expression de I2A. Le professeur pose ensuite l'équation I de A égale 5 et propose de la simplifier en multipliant par 3. Il remarque alors une relation polynomiale de degré 2 entre les termes. Il utilise donc une méthode bien connue pour résoudre ce type de polynôme. Il rappelle également une méthode alternative en utilisant la technique du X carré moins SX plus P. Il explique comment trouver les racines du polynôme et propose deux méthodes pour y parvenir. Enfin, le professeur revient sur la condition initiale de l'exercice qui stipulait que A doit être un nombre positif. En utilisant les valeurs trouvées pour les racines du polynôme, il élimine une des solutions. Pour conclure, le professeur écrit l'équation finale qui relie A à la valeur 5 et trouve la solution correspondante. Il rappelle également une formule générale permettant de trouver la racine d'une puissance donnée, ce qui peut être utile dans d'autres exercices.
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Aire d'un dodécagone !

Dans cette vidéo, l'auteur présente un exercice de géométrie concernant un dodecagone régulier. Il explique que cela consiste en un polygone à 12 côtés, dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles internes sont égaux. Pour résoudre l'exercice, il suggère de diviser le dodecagone en triangles égaux et de calculer l'aire d'un de ces triangles. Il donne deux options pour le calcul de l'aire : soit en traçant une hauteur, puis en utilisant la formule de l'aire d'un triangle, soit en utilisant la formule des sinus. Il explique cette formule et montre comment l'utiliser pour obtenir l'aire de l'un des triangles. Ensuite, il multiplie cette aire par 12 pour obtenir l'aire totale du dodecagone, ce qui donne comme réponse 3. En conclusion, l'auteur souligne l'importance de comprendre les mécanismes d'accélération pour résoudre rapidement ce type d'exercice lors d'un concours.
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Polynôme de degré 4 et nombres premiers

Le cours aborde un exercice du Mass Admission Test Docteur sur la factorisation et les nombres entiers. Il commence par analyser l'énoncé où il est demandé de factoriser le polynôme x^4 + 1. Il montre ensuite la factorisation en utilisant la formule (a^2 + b^2) = (a + b)^2 - 2ab. Il explique également qu'il est possible de factoriser tous les polynômes de degré supérieur à 2. Il montre ensuite que pour tout réel n, n^4 + 4 ne peut pas être un nombre premier. Il utilise une condition nécessaire pour être premier et montre qu'elle est vérifiée pour n=1, mais pas pour d'autres valeurs de n. Finalement, il conclut que l'ensemble des solutions de l'équation est réduit à l'entier 1.
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100 cercles concentriques !

Dans cette vidéo, l'exercice de géométrie du mathématicien test d'Oxford et Imperial de l'édition 2022 est abordé. L'exercice présente une centaine de cercles concentriques, nommés C1, C2, C3, jusqu'à C100. Pour chaque nombre entier de 1 à 99 inclus, une tangente du cercle Cn est tracée et elle croise le cercle Cn+1 en deux points distants de 2. Considérant que le rayon du cercle C1 est de 1, l'objectif est de déterminer le rayon du cercle C100. En analysant la figure, on peut constater que les rayons des cercles augmentent successivement. En traçant une tangente au cercle C1 et en observant ses points d'intersection avec le cercle C2, on peut comprendre que la distance entre ces points dépend de la taille du cercle suivant. Il faut donc trouver une méthode générale pour calculer cette distance. En utilisant le théorème de Pythagore, on peut établir que (rn+1)^2 = 1 + (rn)^2, où rn est le rayon du cercle Cn. Cette relation est valable entre n'importe quels cercles successifs. En résolvant cette équation récursive, on peut exprimer le rayon du cercle Cn en fonction de n, ce qui donne rn = racine carrée de n. Ainsi, en substituant n par 100, on obtient le rayon du cercle C100 qui est égal à racine carrée de 100, soit 10.
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Équation à valeur absolue

Bienvenue à tous dans cette vidéo de correction du premier exercice de l'édition 2022 du Math Admission Test d'Oxford. Dans cet exercice, nous devons trouver le nombre de solutions réelles d'une équation donnée. Pour résoudre ce problème, il est important de bien comprendre le concept de valeur absolue. Nous devons distinguer les cas où x est positif et négatif, puis manipuler l'expression en conséquence. En utilisant cette méthode, nous pouvons résoudre l'équation en quelques étapes simples. Nous pouvons également utiliser la méthode du delta pour simplifier le calcul des racines. Dans cet exercice, nous trouvons trois racines réelles. Il est important de maîtriser ces méthodes car elles peuvent être utiles pour résoudre des problèmes similaires dans le futur. N'hésitez pas à poser des questions si nécessaire et à rejoindre notre communauté. Au plaisir de vous retrouver dans la prochaine vidéo.
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Équation d'un cercle et degré 3 ?

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Une suite hyper géométrique !

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui explique la résolution d'une question du Math Admission Test d'Oxford 2022. La question porte sur une suite mathématique avec une relation de récurrence. La méthode utilisée pour résoudre la question est d'appliquer le logarithme naturel (ln) pour gérer les puissances. En utilisant cette méthode, on trouve une formule qui permet de trouver les termes de la suite. Ensuite, on applique cette formule pour trouver la valeur du dixième terme de la suite. Après quelques manipulations, on obtient la réponse finale. Le cours souligne l'importance d'avoir de bons réflexes et une connaissance des formules mathématiques pour résoudre ce type de question. La méthode utilisée permet de résoudre la question rapidement, en quelques minutes. L'objectif du cours est d'aider les étudiants à développer ces réflexes et à acquérir une bonne connaissance des formules mathématiques pour réussir ce type de test.
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Logarithme en base 2 et résolution d'équation

Dans cette vidéo, TheMathTailor résout une équation mathématique posée au MathAdmissionTest d'Oxford en 2022. Il commence par expliquer ce qu'est un log non classique en base 2, qui est la bijection réciproque de la fonction 2 puissance x. Il rappelle également que l'exponentiel x est égal à 2 puissance x. Ensuite, il factorise l'équation donnée et trouve un polynôme du degré 2. Il résout ce polynôme et trouve deux solutions possibles pour x. Cependant, il souligne qu'il faut vérifier les conditions d'existence de ces solutions. Il rappelle que le log en base 2 n'est défini que pour des valeurs strictement positives de x. Après vérification, il conclut que les deux solutions trouvées sont bien valides. En résumé, l'équation donnée a deux solutions réelles valides.
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Une fonction avec du degré 4 et -4 !

Bonjour à tous et bienvenue dans cette vidéo. Aujourd'hui, nous allons analyser un exercice du Math Admission Test qui consiste à trouver le nombre de termes constants dans une expression donnée. Tout d'abord, rappelons les règles de développement des puissances supérieures à 2. Pour une puissance 2, nous avons a^2 + b^2. Pour les puissances supérieures, il existe des identités remarquables, mais nous pouvons également utiliser le triangle de Pascal. En combinant les puissances de chaque terme et les coefficients du triangle de Pascal, nous obtenons le développement de l'expression. Maintenant, concentrons-nous sur l'exercice. Pour simplifier les calculs, nous allons choisir a = x + 1/x et b = 1. Cette combinaison nous permet de facilement combiner les termes en x et en 1/x. En utilisant le développement 1, 4, 6, 4, 1 du triangle de Pascal, nous obtenons l'expression développée. Nous remarquons que les termes impairs ne seront pas utiles pour trouver les termes constants. Seuls les termes pairs où les puissances de x et de 1/x se compensent seront importants. En effectuant quelques calculs, nous trouvons le terme constant de l'expression. En résumé, en utilisant le triangle de Pascal et en choisissant judicieusement les valeurs de a et b, nous pouvons rapidement trouver les termes constants dans une expression. J'espère que cette méthode vous a été utile. Merci de m'avoir suivi et à bientôt !