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Contraposée et arithmétique

Dans cette vidéo, Paul démontre la propriété suivante par contraposée : si l'entier n²-1 n'est pas divisible par 8, alors l'entier n est pair. Il explique que pour prouver la contraposée, il faut d'abord exprimer un entier impair n sous la forme n = 4k + r, avec r appartenant à {1 ; 3}. Ensuite, il développe n²-1 en fonction de 8 et montre que quel que soit n impaire, alors n²-1 est divisible par 8. Ainsi, on a démontré la contraposée et par conséquent la propriété de l'énoncé est également démontrée.
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Inégalité de Bernoulli

Dans cette vidéo, Paul nous explique le raisonnement par récurrence utilisé pour prouver une inégalité. L'exercice consiste à prouver que pour tout entier n et tout réel x, 1+x^n est supérieur ou égal à 1+nx. La récurrence ne porte que sur n et l'hypothèse de récurrence est la propriété à prouver pour n. On vérifie la propriété avec un calcul rapide et on rédige ensuite la démonstration en posant la propriété P2n avec la propriété définie pour tout entier n telle que 1+x^n est supérieur ou égal à 1+nx. L'initialisation est vérifiée pour n=0 et on poursuit avec l'hérédité pour prouver Pn+1. En utilisant des calculs et des inégalités, on conclut que Pn est vrai pour tout n et tout x.
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Langage binaire

Dans cette vidéo, Paul explique comment démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, cet entier peut s'écrire comme la somme de puissances de 2 toutes distinctes. Il propose d'utiliser la récurrence forte pour prouver cette propriété. Il montre que pour k appartenant à 1n, k peut s'écrire comme la somme de puissance de 2 toutes distinctes en utilisant la décomposition de p, un nombre inférieur ou égal à n. Si n+1 est paire, l'idée est de trouver un nombre p et d'ajouter 1 à toutes les puissances de 2 de sa décomposition pour prouver que n+1 peut s'écrire comme une somme de puissances de 2 distinctes. Si n+1 est impaire, il suffit de réutiliser la décomposition de p pour montrer que n+1 peut s'écrire comme une somme de puissances de 2 distinctes. Ainsi, pour toute entière n supérieure ou égale à 1, on peut s'écrire comme une somme de puissances de 2 distinctes.
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Disjonction et arithmétique

Dans cette vidéo, Paul propose un exercice de logique où l'on doit démontrer que si n est la somme de 2 carrés alors le reste de la division euclidienne de n par 4 est toujours différent de 3. Il utilise la méthode de récurrence mais constate qu'elle ne sert à rien dans ce cas précis. Il cherche alors à séparer les 4 cas possibles et arrive à démontrer que r sera toujours différent de 3. Il utilise l'unicité de la division euclidienne pour prouver que q et r sont comme il le souhaite. En fin de compte, il démontre cette propriété et conclut l'exercice.
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Analyse synthèse : Equation fonctionnelle

Dans cet exercice, on cherche les fonctions f de R dans R qui vérifient l'équation fonctionnelle pour toute valeur de x : f(x) + x*f(1-x) = 1+x. Pour résoudre cette équation, on peut calculer les valeurs de f(0) et f(1), ce qui permet de constater que la fonction constante égale à 1 est une solution possible. En utilisant la symétrie de l'équation par rapport à x et 1-x, on peut éliminer f(1-x) et exprimer f(x) en fonction de f(x). On montre ainsi que la seule fonction solution est la fonction constante égale à 1. On vérifie l'existence de cette fonction en posant f(x)=1 pour toute x, ce qui permet de confirmer que cette fonction est l'unique solution du problème.
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Inégalité triangulaire bien dure !

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Diagramm de Venn

Dans cette vidéo, Paul utilise le diagramme de Venn pour résoudre des assertions sur les ensembles. Il montre comment déterminer si une proposition est vraie ou fausse en utilisant les croix et les patates pour représenter les ensembles. Paul illustre également les différentes opérations d'ensembles telles que l'intersection, la complémentation et l'union en utilisant le diagramme de Venn. Il encourage ses spectateurs à utiliser les diagrammes de Venn pour tester des hypothèses sur les ensembles.
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Intersection et Union

Dans cette vidéo, on apprend à manipuler l'union, l'intersection et l'appartenance des ensembles. On prend trois ensembles A, B et C tels que A union B est égal à B inter C. On doit montrer que A est inclus dans B et est inclus dans C. Pour montrer l'inclusion, il faut prouver que pour tout élément X de A, X est également dans B et C. On commence par montrer que A est inclus dans B en prouvant que pour tout élément X de A, X appartient à B. Sachant que A union B est égal à B inter C, on déduit que X appartient à B inter C, donc à B et C. Donc X appartient à B et A est inclus dans B. On montre ensuite que B est inclus dans C en prouvant que pour tout élément X de B, X appartient à C. Sachant que B est égal à B inter C, on déduit que X appartient à B inter C, donc à B et C. Donc X appartient à C et B est inclus dans C. Finalement, on a prouvé que A est inclus dans B qui est inclus dans C.
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Parties

Dans cette vidéo, Paul explique la relation entre les parties d'un ensemble en utilisant deux ensembles E et F. En analysant la question de savoir si A est une partie de E inter F et si elle est aussi une partie de E et F, il déduit que A appartient à la fois aux parties de E et de F. En comparant P de E inter F avec P E inter P de F, il démontre que P de E inter F est inclus dans P de E inter P de F. Ensuite, il essaie de prouver l'inclusion réciproque, mais il trouve un contre-exemple en utilisant les singletons. Il conclut que les choses qui sont vraies pour l'union ne le sont pas forcément pour l'intersection.
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Lois de Morgan

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Différence symétrique

Dans cette vidéo, Paul explique la différence symétrique, définie comme delta A, delta B, qui est l'ensemble des X qui sont dans A ou B mais qui ne sont pas dans A et B. Il utilise des patates pour aider à comprendre cette définition. Il montre également une propriété de l'égalité entre deux ensembles par double inclusion. Il utilise cette propriété pour calculer quelques exemples de différences symétriques. La quatrième question consiste à démontrer la distributivité de l'intersection sur la différence symétrique. Paul procède par double inclusion pour démontrer cette relation. En fin de compte, la vidéo explique comment calculer la différence symétrique de différents ensembles.
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Produit cartésien

Dans cette vidéo, Paul utilise un raisonnement par l'absurde pour démontrer que l'ensemble D, qui est défini comme l'ensemble des x y appartenant au plan tel que x² plus y² est inférieur au égal à 1, ne peut pas être écrit comme le produit cartésien de deux parties de R. Il commence par supposer l'inverse de ce qu'il veut prouver, c'est-à-dire qu'il existe une écriture telle que AB appartenant aux parties de R² et que D est le produit cartésien de A et B. Ensuite, il dessine les parties A et B de R et montre que le produit cartésien A fois B va tomber en dehors du cercle dans certains endroits. Pour prouver qu'un point est à la fois dans A fois B et n'est pas dans D, il utilise les points extrêmes 0, 1 et 1, 0. Il conclut qu'il y a une contradiction et que D ne peut pas être écrit comme un produit cartésien de deux parties de R.