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Suite récurrente d'ordre 2

Dans cette méthode, on cherche les solutions complexes des suites récurrentes d'Ordre 2. On résout d'abord l'équation sans p2n, en utilisant l'équation de caractéristique. Les solutions sont de la forme lambda fois 2puissance n plus μ fois 3puissance n. Ensuite, on s'intéresse à la recherche d'une solution particulière avec p2n. On cherche une solution de la forme a fois 4puissance n, en résolvant l'équation. On obtient a égal à 1/2. Donc l'ensemble des solutions est la solution homogène plus la solution particulière, soit lambda fois 4puissance n plus mu fois moins 3 puissance n plus 4puissance n sur 2. Dans un autre cas, la valeur de p2n est n fois 2puissance n. On cherche une solution de la forme un polynôme fois 2puissance n, avec un degrés supérieur à la solution particulière précédente. On obtient a égal à 1/20 et b égal à moins 9/100. Donc l'ensemble des solutions est la solution homogène plus la solution particulière, soit lambda fois 2 puissance n plus mu fois moins 3 puissance n plus 40 fois n fois 2puissance n. Dans le dernier cas, on utilise le principe de superposition pour trouver la solution particulière. On ajoute les solutions particulières des deux cas précédents. On obtient la combinaison linéaire des solutions particulières, qui est égale à 3 quatorzième de 4 puissance n plus 40 fois n fois 2 puissance n. Voilà pour cette méthode sur les suites récurrentes d'Ordre 2.

Suite arithmético géométrique

Les suites arithmético-géométriques sont un cas particulier des suites définies par récurrence, où la relation de récurrence est donnée par u(n+1) = f(u(n)), avec f(x) = x + b (une fonction affine). Si a ≠ 1, alors la seule limite possible pour u(n) est l = b / (1 - a). Pour déterminer si la suite converge, on introduit une suite auxiliaire v(n) = u(n) - l, qu'on étudie ensuite. La suite v(n) est géométrique de raison a, et converge si |a| < 1. Ainsi, la suite u(n) converge si |a| < 1. Dans une application pratique, on considère un carré de côté 1, qu'on partage en 9 carrés et on colorie uniquement le carré central. On répète ensuite le processus en coloriant le carré central de chaque carré restant, et ainsi de suite. La relation de récurrence associée à cette géométrie est donnée par u(n+1) = (8/9)u(n) + (1/9)(1 - u(n)), où u(n) représente la proportion de la surface coloriée. En simplifiant cette relation, on obtient u(n+1) = (8/9)u(n) + (1/9). Comme a = 8/9, qui est compris entre 0 et 1 strictement, la suite u(n) converge vers 1. Ainsi, à chaque étape, une plus grande partie du carré est coloriée, et finalement, après un nombre infini d'étapes, tout le carré sera colorié.

Suites récurrentes

Les suites définies par récurrence sont des suites classiques en mathématiques. Elles se présentent sous la forme un+1 = f(un), où un est le terme de rang n de la suite. Pour étudier ces suites, on suit généralement une méthode en plusieurs étapes. Tout d'abord, on cherche à encadrer la suite, puis on examine sa variation. Ensuite, on détermine si la suite est convergente et on trouve sa limite. Dans cet exemple, on étudie une suite U définie par la relation un+1 = un/2 + un^2/4. On commence par l'encadrer en utilisant une méthode de récurrence, en montrant que la suite est comprise entre 0 et 1. Ensuite, on montre que la suite est décroissante en calculant la différence un+1 - un. Enfin, on conclut que la suite est convergente et on trouve sa limite en résolvant une équation du point fixe. Le processus général pour étudier les suites définies par récurrence est donc : encadrer la suite, examiner sa variation, déterminer si elle est convergente et trouver sa limite en résolvant l'équation du point fixe.

Suites complexes

Dans cette méthode, nous abordons les suites récurrentes d'Ordre 2 et leurs solutions complexes. Nous résolvons une équation de suite et recherchons des solutions complexes. Nous commençons par résoudre l'équation sans prendre en compte les p2n. Nous trouvons que les solutions sont de la forme lambda x 2puissance n plus mu x 3puissance n. Ensuite, nous étudions les solutions particulières avec p2n. Si p2n n'est pas l'une des deux solutions précédentes, nous cherchons une solution particulière sous la forme a x 4puissance n. En résolvant cette équation, nous trouvons la valeur de a et obtenons notre solution particulière. L'ensemble des solutions est alors la solution homogène plus la solution particulière. Dans le deuxième cas, si p2n est une solution simple de l'équation caractéristique, nous cherchons une solution de la forme un polynôme x 2puissance n avec un degré supérieur à celui de la solution particulière précédente. En résolvant cette équation, nous trouvons les valeurs de a et b et obtenons notre solution particulière. Encore une fois, l'ensemble des solutions est la solution homogène plus la solution particulière. Dans le dernier cas, nous utilisons le principe de superposition pour trouver la solution particulière en utilisant les solutions particulières des deux cas précédents. La solution particulière est alors la combinaison linéaire de ces deux solutions particulières.

Nombre d'or

Le sujet de ce cours est le nombre d'or, un nombre mathématique bien connu. La suite étudiée est définie de manière explicite, mais avec quelques points manquants. On cherchera le comportement de cette suite et on vérifiera si elle converge vers le nombre d'or. On démontrera également que la suite est croissante et on étudiera sa vitesse de convergence. On montrera que la suite converge vers le nombre d'or de manière très rapide, avec une vitesse de convergence du type 1 sur 2 puissance n. On conclura en soulignant l'importance de la vitesse de convergence lors des comparaisons et des équivalents.

Bolzano Weierstrass

Dans ce cours, nous abordons le concept de Bolzano-Weierstrass. Nous définissons une suite complexe avec une relation de récurrence et une suite auxiliaire. Nous essayons de montrer que la suite Mn est bornée et utilise l'inégalité ln pour bounded les valeurs. Ensuite, nous appliquons le théorème de Bolzano-Weierstrass pour montrer qu'il existe une fonction Phi telle que U de Phi converge. Enfin, nous démontrons que cela implique que la suite Un converge également grâce à une inégalité et le théorème d'encadrement.