Ordre 1 coeffs constants

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Maths

Analyse

MPSI/PCSI

Dans cette vidéo, Maty de studio aborde la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 en utilisant une technique particulière : la méthode de variation de la constante. Il commence par résoudre une équation donnée : y'y = 1/(1+exp(x)). Il rappelle rapidement comment trouver la solution homogène de l'équation différentielle homogène associée, qui est yh = x*exp(-x). Ensuite, pour trouver une solution particulière, il utilise la méthode de variation de la constante. Il pose une fonction A(x) qui varie et multiplie cette fonction par exp(-x), comme c'était posé initialement. En dérivant cette fonction, il obtient A'(x) = exp(x)/(1+exp(x)). En intégrant cette équation, il trouve que A(x) = ln(1+exp(x)) + C, où C est une constante d'intégration. Comme il a précisé qu'il fallait multiplier par exp(-x) pour obtenir la solution particulière, la solution trouvée est : ysp = exp(-x) * ln(1+exp(x)). La solution générale de l'équation différentielle est donc : y(x) = yh + ysp = x*exp(-x) + exp(-x) * ln(1+exp(x)). Ensuite, il résout une autre équation donnée : 1+x*y' + y = 1 + ln(1+x)/(1+∞). Il commence par trouver la solution homogène de l'équation différentielle homogène associée, qui est yh = exp(ln(1+x)) = 1+x. Ensuite, pour trouver une solution particulière, il utilise encore la méthode de variation de la constante. Il pose une fonction A(x) qui varie et multiplie cette fonction par (1+x), comme c'était posé initialement. En dérivant cette fonction, il obtient A'(x) = ln(1+x). En intégrant cette équation, il trouve que A(x) = (1+x) * ln(1+x) - x. Comme il a précisé qu'il fallait diviser par (1+x) pour obtenir la solution particulière, la solution trouvée est : ysp = ln(1+x). La solution générale de l'équation différentielle est donc : y(x) = yh + ysp = 1+x + ln(1+x). Il résout ensuite deux autres équations, en utilisant la même méthode de variation de la constante. Les solutions trouvées sont respectivement : y(x) = x^2/(1+x) et y(x) = exp(x^2 + x)/(1+x). Enfin, il conclut en expliquant que la méthode de variation de la constante est une méthode importante pour résoudre les équations différentielles d'ordre 1, car elle permet de trouver une solution particulière à tous les coups. Il souligne l'importance de multiplier la solution particulière par le facteur exponentiel correspondant. Il encourage ensuite les spectateurs à résoudre n'importe quelle équation différentielle d'ordre 1 en utilisant cette méthode.

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Avec condition initiale

Dans cette vidéo, Mathis de Studio résout deux problèmes de Cauchy, qui sont des équations différentielles linéaires d'ordre 1 avec des conditions initiales. Pour résoudre chacune de ces équations, il utilise la méthode de la solution homogène et de la solution particulière en appliquant la variation de la constante. Pour la première équation, il trouve que l'ensemble des solutions ne contient qu'un seul élément. Pour la deuxième équation, il trouve également qu'il n'y a qu'une seule solution qui vérifie la condition initiale. La méthode pour la solution particulière et l'importance de sommer les solutions homogènes et particulières avant d'appliquer la condition proposée sont soulignées.

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Gérer une valeur absolue

Dans cette vidéo, Matisse de Studio résout une équation différentielle sur deux intervalles différents : moins l'infini 0 et 0 plus infini. L'équation est la suivante : "valeur absolue de x y prime plus x moins 1 y est égale à x cube". Il commence par résoudre sur moins l'infini 0 en normalisant l'expression, en trouvant la solution homogène et en utilisant la méthode de variation de la constante pour trouver la solution particulière. Ensuite, il résout sur 0 plus infini en obtenant une solution homogène différente et en utilisant la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière différente. La conclusion est que l'intervalle de résolution a un impact majeur sur la forme de l'ensemble de solutions. Il faut donc faire attention à cela lors de la résolution d'équations différentielles.

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Changement de variable

Dans cette vidéo, Mathis explique comment résoudre une équation différentielle non linéaire d'ordre 1 en utilisant un changement d'inconnue. L'équation E1 est -x²z' + xz = z², et on cherche des solutions sur l'intervalle 1 à l'infini qui ne s'annulent pas sur cet intervalle. Pour linéariser cette équation, Mathis pose y = 1/z et vérifie que y est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1, E2. En résolvant E2 sur y, Mathis trouve que les solutions sont de la forme x(e^(ln(x)/a + ln(x))) avec a appartenant à R. En prenant l'inverse de cette forme de solution, il trouve les solutions de E1 sur 1 à l'infini qui ne s'annulent pas, qui sont de la forme x(x/e^(ln(x)/a + ln(x))) avec a appartenant à R+. Grâce à ce changement d'inconnue, Mathis résout une équation qui était hors de notre champ de résolution.

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Classique : Raccordement

Dans cette vidéo, Mathis de Studio traite du problème classique de raccordement en équation différentielle. Pour résoudre ce problème, il commence par donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction se prolonge par continuité en 0 en évaluant les limites à gauche et à droite. Ensuite, il démontre que si cette condition est remplie, ce prolongement est dérivable en 0 et que la dérivée est continue en 0. Puis, il résout l'équation différentielle x²y' - y = 0 sur les intervalles -∞ 0 et 0 +∞. Il montre que l'ensemble des solutions est l'ensemble des fonctions qui ont x associé à exponentielle de moins 1 sur x, où a est un paramètre réel. Enfin, il explique l'enjeu du raccordement et souligne l'importance de vérifier des conditions de stabilité via la continuité et la dérivabilité pour assembler des solutions sur l'ensemble des intervalles.

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