Online Dénombrement course by Top Instructors - Dénombrement

Cours par la pratique 1

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Le cours porte sur la détermination du nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes avec différentes combinaisons. Tout d'abord, il est expliqué que le carré d'As fixe 4 des 5 cartes. Sachant qu'il y a 28 autres cartes dans le jeu, il est précisé que cette combinaison est très rare. Ensuite, il est intéressant de déterminer le nombre de mains de 5 cartes de la même couleur dans un jeu de 32 cartes. On explique que pour cela, il est nécessaire de sélectionner 5 cartes parmi les 8 de la même couleur. Puisqu'il y a 4 couleurs dans un jeu de 32 cartes, le nombre total de mains possibles avec cette combinaison est donc de 4 fois le nombre de façons de sélectionner 5 cartes parmi 8. Le cours continue en abordant la détermination du nombre de mains avec exactement une paire de cartes. Il est souligné que cette condition signifie qu'il ne doit pas y avoir deux paires ni un brelan. Pour résoudre ce cas, il est expliqué qu'il faut sélectionner les 3 cartes restantes une par une, en faisant attention à ne pas les prendre parmi les cartes de la paire déjà fixée. Ainsi, on obtient le nombre de mains possibles en multipliant le nombre de façons de sélectionner chaque carte parmi les cartes restantes. Ensuite, on explique que pour chaque hauteur possible (7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As), le nombre de paires possibles est de 2 parmi les 4 cartes de cette hauteur. Ainsi, le nombre total de mains possibles avec une paire donnée est obtenu en multipliant le nombre de façons de sélectionner une paire parmi les hauteurs possibles. En résumé, le nombre total de mains possibles avec exactement une paire est obtenu en effectuant ces calculs pour chaque paire possible, c'est-à-dire pour chacune des 8 hauteurs possibles.

Permutations : application

Dans ce cours, nous apprenons comment gérer les permutations. Une permutation se produit lorsque nous avons un ensemble ou une liste et que nous voulons savoir combien de façons il y a de changer l'ordre de cet ensemble. Par exemple, dans le cas d'un tirage de loto, nous voulons savoir combien de façons il y a de changer l'ordre du tirage une fois qu'il est fixé. Dans cet exemple, nous avons une conférence avec 12 scientifiques, 6 hommes et 6 femmes, dont 5 mathématiciens, 3 physiciens et 4 biologistes. Chaque groupe de scientifiques a une méthode de placement différente. La méthode des mathématiciens consiste à se placer au hasard, ce qui signifie qu'il y a 12 personnes déjà fixées et nous voulons savoir combien de façons il y a de les positionner. Le nombre de permutations pour un ensemble de n éléments est donné par la formule n!. Dans ce cas, nous avons 12 scientifiques, ce qui donne 12! permutations, soit 479 millions de possibilités. La méthode des physiciens consiste à rester ensemble, ce qui signifie que les physiciens restent côte à côte et les autres sont répartis de manière aléatoire. Dans ce cas, nous avons déjà 10 positions possibles pour le premier physicien, puisqu'ils doivent rester ensemble. Ensuite, il y a 6 permutations possibles pour les deux autres physiciens. Enfin, les autres scientifiques peuvent être positionnés de n'importe quelle façon parmi les 9 places restantes. En utilisant le principe multiplicatif, nous avons 10 x 6 x 9 permutations possibles, soit 21 millions de possibilités. La méthode des biologistes consiste à regrouper les hommes et les femmes ensemble. Dans ce cas, il y a 2 façons de positionner les deux groupes. Ensuite, chaque groupe peut être réparti de différentes façons, avec 6 permutations possibles pour les femmes et 6 permutations possibles pour les hommes. En utilisant le principe multiplicatif, nous obtenons 2 x 6! x 6!, soit 1 million 36 800 possibilités. Nous utilisons le principe multiplicatif pour calculer le nombre de permutations dans ces exemples. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à consulter la FAQ.

Dénombrer des combinaisons

Les combinaisons sont utilisées lorsque l'ordre ne compte pas et qu'il n'y a pas de répétition. Par exemple, dans le tirage du loto où l'ordre des numéros ne compte pas, ou dans le bridge où les joueurs ont une main de 13 cartes sans répétition. Pour calculer le nombre de mains possibles dans le bridge, on utilise la formule 13 parmi 52 (ou la formule factorielle si besoin). Ensuite, si l'on veut savoir combien de mains contiennent uniquement un cœur, on choisit d'abord un cœur parmi les 13 disponibles, puis on choisit les 12 cartes restantes parmi les 39 qui ne sont pas des cœurs. On multiplie ensuite ces deux nombres pour obtenir le résultat. En résumé, il est important de reconnaître les situations où l'on utilise les combinaisons, c'est-à-dire lorsque l'on a des ensembles, que l'ordre ne compte pas et qu'il n'y a pas de répétition.

Combinaison et intersection

Maintenant, nous allons voir comment les combinaisons fonctionnent avec les intersections. Le problème est similaire à une méthode que nous avons déjà utilisée avec les diagrammes et les intersections. Imaginons que nous prenions au hasard 20 élèves dans une classe, parmi lesquels 14 aiment les mathématiques, 7 aiment la physique et 4 aiment les deux matières. Commençons par représenter cela avec un petit diagramme. Sur les 20 élèves, 10 aiment les mathématiques, 4 aiment à la fois les mathématiques et la physique, et 3 n'aiment que la physique. En déduisant cela grâce aux 4 élèves qui se situent au milieu, nous avons 3 élèves qui n'aiment ni les mathématiques ni la physique. Maintenant, nous allons prendre au hasard des sous-groupes d'élèves parmi ces différentes catégories et nous devons déterminer combien de groupes comportent exactement 4 élèves qui aiment les mathématiques. Il s'agit d'un problème de combinaison, car l'ordre n'a pas d'importance et il n'y a pas de répétition. Donc, pour former des sous-groupes de 4 élèves, nous devons en choisir 4 parmi les 14 qui aiment les mathématiques. Combien de sous-ensembles peut-on construire parmi ces 14 élèves ? Cela équivaut à "14 parmi 4", ce que l'on peut noter mathématiquement par "14! divisé par 4! fois 10!". Si nous avons une calculatrice, cela se résout facilement. Cependant, si nous devons effectuer le calcul sans calculatrice, il est important de simplifier autant que possible. Les deux facteurs de 4! vont se simplifier et disparaître, ce qui laisse seulement "14 x 13 x 12 x 11". Les autres chiffres se simplifient également en "4 x 3 x 2". Ainsi, le résultat est de 1001. Passons maintenant à la deuxième question. Combien y a-t-il de sous-groupes de 4 élèves comportant 2 élèves qui n'aiment que les mathématiques et 2 élèves qui n'aiment que la physique ? À l'intérieur de ce sous-groupe de 4 élèves, nous avons deux sous-groupes de 2 élèves. Le premier sous-groupe comprend uniquement des élèves qui aiment la physique, tandis que le deuxième sous-groupe comprend uniquement des élèves qui aiment les mathématiques. Il y a donc 10 élèves qui aiment seulement les mathématiques et 3 élèves qui aiment seulement la physique. Nous devons en choisir 2 parmi les 10 élèves qui aiment les mathématiques et 2 parmi les 3 élèves qui aiment seulement la physique. Cela revient à "2 parmi 10" multiplié par "2 parmi 3". Le calcul peut être simplifié, par exemple, "2 parmi 10" peut être résolu par "10 x 9 divisé par 2", ce qui donne 45. "2 parmi 3" est simplement 3. Donc, au total, cela nous donne 135 possibilités. Voilà comment nous pouvons utiliser les combinaisons et les intersections ensemble.

Classique : jetons colorés

Ce cours explique différentes méthodes de dénombrement en utilisant des jetons de couleurs. Le premier exercice consiste à tirer simultanément 4 jetons parmi 20, sans répétition. Le résultat est calculé en utilisant le nombre de combinaisons possibles (4845). Ensuite, l'exercice demande le nombre de tirages avec quatre numéros identiques. Il faut donc identifier les numéros qui ont au moins quatre occurrences, qui sont 0, 2 et 7. Le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque numéro, et les résultats sont additionnés (67). Le troisième exercice concerne les tirages avec uniquement des jetons blancs. Il y a 12 jetons blancs au total, et le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour choisir 4 jetons parmi 12 (495). Ensuite, il est demandé le nombre de tirages avec des jetons de la même couleur. Les couleurs possibles sont blanc et rouge, et le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque couleur, qui sont ensuite additionnées (565). Le cinquième exercice demande de former le nombre 2020 avec les jetons. Comme l'ordre ne compte pas, il faut choisir deux jetons avec le numéro 2 et deux jetons avec le numéro 0. Le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque numéro, qui sont ensuite multipliées entre elles (268). Enfin, le dernier exercice demande le nombre de tirages comportant au moins un jeton avec un numéro différent des autres. Pour simplifier le calcul, on considère l'événement contraire, c'est-à-dire avoir que des jetons identiques. Ce nombre de tirages est déjà calculé précédemment (76). En soustrayant ce nombre du nombre total de tirages possibles, on obtient le résultat final (4739). En conclusion, les combinaisons et le dénombrement ont été utilisés pour résoudre ces exercices de manière générale.

Entiers dont la somme des chiffres vaut 3

Le cours est une explication détaillée de la résolution d'un exercice mathématique. Il s'agit de déterminer le nombre de nombres entiers inférieurs à une puissance de 10 qui ont une somme de chiffres égale à 3. Le cours commence par des exemples avec des puissances de 10 de plus en plus grandes pour illustrer la démarche. Ensuite, l'enseignant propose