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Révisions Maths lycée
Géométrie Terminale
MPSI/PCSI
Trouver un angle avec le produit scalaire
Le cours traite du calcul de l'angle entre les diagonales AG et OF dans un cube d'arête 1. L'approche utilisée est basée sur le produit scalaire. En utilisant les coordonnées des points du cube, le professeur représente le cube comme un espace en trois dimensions et attribue des vecteurs unitaires aux côtés du cube. Ensuite, il calcule les coordonnées des points D, G et F, qui sont les points d'intérêt pour le calcul de l'angle. Les coordonnées de D sont (0,1,0), celles de G sont (1,1,1) et celles de F sont (1,0,1). Ensuite, le professeur calcule les vecteurs AG et DF, qui sont respectivement (1,1,1) et (1,-1,1). Il calcule également les normes de ces vecteurs, qui sont toutes deux racine de 3. En utilisant ces valeurs, le professeur forme une équation pour trouver le cosinus de l'angle FOG en utilisant la formule du produit scalaire. En faisant les calculs, il obtient un cosinus égal à 1/3. En arrondissant l'angle à 0,01 degré près, le professeur obtient un angle de 70,53 degrés.
L'approche utilisée, qui consiste à utiliser les coordonnées et à poser un repère, permet d'obtenir des résultats efficacement. Il est donc recommandé de prendre l'initiative d'utiliser cette méthode pour résoudre ce type d'exercice en géométrie.
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Géométrie Terminale
MPSI/PCSI
Méthode classique de géométrie dans l'espace
Ce cours porte sur la géométrie dans l'espace et présente un exercice classique à résoudre. Dans cet exercice, ABCD et FGH représentent un cube de côté A. Le point M est le milieu du segment AB.
Pour montrer que le triangle DHM est rectangle, on observe que DH est un vecteur normal pour le plan ABC, c'est-à-dire la face inférieure du cube.
Ensuite, pour déterminer la valeur de l'angle DMH en degrés arrondi à 0,01 près, on peut calculer le produit entre les vecteurs MH et MD, mais il est plus simple de remarquer que le triangle est rectangle. On peut donc utiliser les propriétés du triangle rectangle et dire que l'hypoténuse est HM. On peut alors calculer la longueur DM et utiliser la formule de la tangente pour trouver l'angle recherché. Peu importe la mesure du côté du cube, l'angle entre les points H, M et D reste le même. Ainsi, la longueur du côté n'intervient pas dans l'expression de l'angle.
En calculant la tangente inverse (ou arctangente) de DH/DM, on obtient la valeur de l'angle recherché.
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Géométrie Terminale
BCPST
Trouver un angle avec le produit scalaire
Dans ce cours, nous avons un cube avec un point O au centre. Le but est de trouver l'angle entre les deux diagonales AG et OF. Pour cela, nous allons utiliser la formule du produit scalaire avec le cosinus.
Nous pouvons considérer ce cube comme un espace en trois dimensions avec A, B, D et E étant les vecteurs unitaires. En notant les coordonnées des différents points, nous avons D(0,1,0), G(1,1,1) et F(1,0,1).
En calculant les vecteurs AG et DF, nous obtenons AG(1,1,1) et DF(1,-1,1). La norme de AG est √3 et la norme de DF est aussi √3. Nous pouvons donc écrire l'équation AG.DF = √3 * √3 * cos(FOG).
En résolvant cette équation, nous trouvons que cos(FOG) est égal à 1/3. En arrondissant à 0,01° près, nous obtenons un angle d'environ 70,53°.
L'initiative de poser un repère et de calculer les normes et le produit scalaire permet de résoudre efficacement ce problème.
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Géométrie Terminale
BCPST
Méthode classique de géométrie dans l'espace
Ce cours porte sur un exercice de géométrie dans l'espace. On nous présente les points ABCD et FGH, qui forment un cube de côté A. Le point M est le milieu du segment AB.
Le premier objectif est de montrer que le triangle DHM est rectangle. Pour cela, on utilise le raisonnement selon lequel le vecteur DH est normal au plan ABC, qui est le plan situé en bas. Ce raisonnement est assez simple à comprendre et à appliquer.
Le deuxième objectif consiste à déterminer la valeur de l'angle DMH en degrés, arrondie à 0,01 près. Plutôt que de faire des produits scalaires pour calculer cet angle, on utilise le fait que le triangle est rectangle. On sait que l'hypoténuse est HM, donc on peut calculer la longueur de HM et ensuite utiliser la formule de la tangente pour trouver l'angle. Cette approche simplifie les calculs car la longueur du côté du cube n'intervient pas dans l'expression de l'angle. Peu importe la mesure du côté du cube, l'angle entre les points H, M et D sera toujours le même.
En conclusion, en utilisant la tangente de l'angle DMH, on peut calculer précisément la valeur de cet angle, indépendamment de la taille du cube.
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Géométrie Terminale
ECG
Trouver un angle avec le produit scalaire
Ce cours concerne le calcul de l'angle entre les diagonales d'un cube en utilisant le produit scalaire. On utilise la formule du produit scalaire avec le cosinus pour trouver l'angle. Le produit scalaire est avantageux car il peut être calculé de différentes manières. Dans cet exemple, on utilise des coordonnées pour trouver le produit scalaire AG.DF. En utilisant les coordonnées des points du cube, on peut calculer les normes des vecteurs AG et DF. En substituant ces valeurs dans l'équation, on obtient le produit scalaire AG.DF égale à racine de 3 fois racine de 3 fois cos(angle FOG). En effectuant les calculs, on peut trouver la valeur de l'angle arrondie à 0,01° près. Il est recommandé d'utiliser un repère pour faciliter les calculs.
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Géométrie Terminale
ECG
Méthode classique de géométrie dans l'espace
En résumé, ce cours porte sur la géométrie et la démonstration d'un triangle rectangle. Le cube ABCD et FGH sont donnés, avec M comme le milieu du segment AB. Pour montrer que le triangle DHM est rectangle, il suffit de remarquer que DH est un vecteur normal pour le plan ABC, ce qui est évident visuellement.
Ensuite, l'exercice demande de trouver la valeur de l'angle DMH en degrés, arrondie à 0,01 près. Plutôt que de faire des calculs complexes, il est plus simple de constater que nous avons un triangle rectangle. En utilisant le théorème de Pythagore, nous pouvons trouver les longueurs des côtés DM et HD. Ensuite, en utilisant la formule de la tangente, nous pouvons trouver l'angle DMH.
Finalement, il est souligné que peu importe la taille du cube, l'angle entre les points H, M et D restera le même. Ainsi, on peut simplifier les calculs en éliminant la longueur du côté dans l'expression de l'angle.
