Online Produit scalaire dans l'espace course by Top Instructors - Produit scalaire dans l'espace

Trouver un angle avec le produit scalaire

Le cours traite du calcul de l'angle entre les diagonales AG et OF dans un cube d'arête 1. L'approche utilisée est basée sur le produit scalaire. En utilisant les coordonnées des points du cube, le professeur représente le cube comme un espace en trois dimensions et attribue des vecteurs unitaires aux côtés du cube. Ensuite, il calcule les coordonnées des points D, G et F, qui sont les points d'intérêt pour le calcul de l'angle. Les coordonnées de D sont (0,1,0), celles de G sont (1,1,1) et celles de F sont (1,0,1). Ensuite, le professeur calcule les vecteurs AG et DF, qui sont respectivement (1,1,1) et (1,-1,1). Il calcule également les normes de ces vecteurs, qui sont toutes deux racine de 3. En utilisant ces valeurs, le professeur forme une équation pour trouver le cosinus de l'angle FOG en utilisant la formule du produit scalaire. En faisant les calculs, il obtient un cosinus égal à 1/3. En arrondissant l'angle à 0,01 degré près, le professeur obtient un angle de 70,53 degrés. L'approche utilisée, qui consiste à utiliser les coordonnées et à poser un repère, permet d'obtenir des résultats efficacement. Il est donc recommandé de prendre l'initiative d'utiliser cette méthode pour résoudre ce type d'exercice en géométrie.

Méthode classique de géométrie dans l'espace

Ce cours porte sur la géométrie dans l'espace et présente un exercice classique à résoudre. Dans cet exercice, ABCD et FGH représentent un cube de côté A. Le point M est le milieu du segment AB. Pour montrer que le triangle DHM est rectangle, on observe que DH est un vecteur normal pour le plan ABC, c'est-à-dire la face inférieure du cube. Ensuite, pour déterminer la valeur de l'angle DMH en degrés arrondi à 0,01 près, on peut calculer le produit entre les vecteurs MH et MD, mais il est plus simple de remarquer que le triangle est rectangle. On peut donc utiliser les propriétés du triangle rectangle et dire que l'hypoténuse est HM. On peut alors calculer la longueur DM et utiliser la formule de la tangente pour trouver l'angle recherché. Peu importe la mesure du côté du cube, l'angle entre les points H, M et D reste le même. Ainsi, la longueur du côté n'intervient pas dans l'expression de l'angle. En calculant la tangente inverse (ou arctangente) de DH/DM, on obtient la valeur de l'angle recherché.

Distance d'un point à un plan

Le cours traite de la méthode classique pour déterminer la distance entre un point et un plan dans l'espace. La distance minimale entre le point et le plan est appelée distance entre un point et un plan. La distance minimale est obtenue en effectuant une projection orthogonale du point sur le plan. Une formule, souvent apprise par cœur, permet de calculer cette distance. Elle utilise les coordonnées du point et un vecteur normal au plan. Dans le cours, un exemple est donné pour illustrer le calcul de la distance entre un point et un plan en utilisant cette formule. Le point C est donné, ainsi qu'un vecteur normal au plan. En utilisant les coordonnées du point et le vecteur normal, on peut exprimer les coordonnées du point H, qui est le projeté orthogonal du point C sur le plan. La distance entre le point C et le plan est ensuite calculée en utilisant la norme du vecteur résultant. La formule détaillée ainsi que les calculs sont expliqués pas à pas dans le cours.