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Corrigés de BAC
Bac Maths
Terminale
Fonctions - Nouvelle Calédonie 2022
Cet exercice de mathématiques porte sur les fonctions, les fonctions logarithmes et la convexité. Il comprend des questions sur l'étude des limites, des dérivées, des variations, du théorème des valeurs intermédiaires et de la convexité. La dernière question concerne les positions relatives d'un segment et de la courbe d'une fonction en fonction d'une valeur donnée. L'exercice a été résolu en calculant les limites, les dérivées, en factorisant les expressions, en étudiant les signes et en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires et les propriétés de la convexité. Une illustration graphique a également été utilisée pour expliquer les positions relatives du segment et de la courbe.
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Bac Maths
Terminale
Suites et fonctions - Nouvelle Calédonie 2022
Dans cet exercice de mathématiques sur les suites fonctions, nous étudions la fonction exponentielle avec une suite définie par récurrence. Nous commençons par calculer u1 et u2, puis nous démontrons que f'(x) = x² exponentielle de x fois x plus 3. Nous justifions le tableau de variation de f et démontrons par récurrence que pour tout antinaturel, moins 1, inférieur ou égal à un, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à 0. Ensuite, nous déduisons que la suite un est croissante et majorée, ce qui implique qu'elle converge vers un réel inférieur ou égal à 0. Nous admettons qu'il existe une unique solution de l'équation f de x égale x strictement supérieure à 1,5, puis nous trouvons que cette solution est égale à 0, ce qui conclut l'exercice.
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Bac Maths
Terminale
Géométrie - Nouvelle Calédonie 2022
L'exercice porte sur la géométrie dans l'espace et aborde plusieurs concepts classiques. Dans un premier temps, on nous demande de trouver les coordonnées du point G, qui est obtenu en additionnant les vecteurs AB, AD et AE. En utilisant les relations données, on obtient les coordonnées de G qui sont (3, 2, 1). Ensuite, on nous demande de montrer que le vecteur N de coordonnées (2, 0, -3) est un vecteur normal au plan EHI, et de déterminer une équation cartésienne de ce plan. En utilisant la formule d'une équation cartésienne et en remplaçant les coordonnées d'un point sur le plan, on trouve que l'équation cartésienne de EHI est 2X - 3Z + 3 = 0. Ensuite, on nous demande de trouver les coordonnées du point I en utilisant les informations sur le triangle EIF et le plan EHI. En remplaçant les coordonnées de I dans l'équation cartésienne de EHI, on trouve que ZI = 2. Les coordonnées de I sont donc (3.5, 0, 2). On nous demande ensuite de déterminer une mesure au degré près de l'angle EIF en utilisant le produit scalaire. En calculant le produit scalaire entre les vecteurs IE et IF et en utilisant la formule du cosinus, on trouve que l'angle EIF mesure environ 112.6 degrés. Enfin, on nous demande de donner une représentation paramétrique de la droite delta passant par le point R(6, -3, -1) et dirigée par le vecteur U(-3, 4, 1). La représentation paramétrique de delta est alors x = 6 - 3t, y = -3 + 4t, z = -1 + t. On nous dit également qu'une équation du plan BFG est x = 3. Finalement, on nous demande de déterminer les coordonnées du point K, intersection de la droite delta et du plan BFG. En remplaçant x par 3 dans la représentation paramétrique de delta, on obtient une équation en une inconnue t. En résolvant cette équation, on trouve que t = 1, et en remplaçant t par 1 dans les coordonnées de delta, on trouve que les coordonnées de K sont (3, 1, 0). On nous demande également de vérifier si le point K appartient au segment BC, et en observant que les coordonnées de K sont les demi-sommes des coordonnées de B et C, on conclut que K est bien le milieu de BC et donc qu'il appartient au segment BC.
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Bac Maths
MPSI/PCSI
Fonctions - Nouvelle Calédonie 2022
Cet exercice porte sur l'étude des fonctions, des fonctions logarithmes et de la convexité. Il comporte plusieurs questions classiques telles que le calcul de limite, la dérivation, le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires. La question qui se démarque concerne la position relative d'un segment par rapport à la courbe d'une fonction.
Dans la première partie, on calcule la limite de la fonction f(x) en 0. On sépare la fonction en polynôme et logarithme et on obtient que f(x) tend vers moins l'infini. Cela indique la présence d'une asymptote verticale à la courbe de f(x) pour x = 0.
Ensuite, on détermine la limite de f(x) quand x tend vers plus l'infini. On factorise la fonction et on constate que f(x) tend vers plus l'infini.
On détermine ensuite la dérivée de f(x) et on étudie le signe de cette dérivée. On trouve que f(x) est croissante sur l'intervalle 0 à √2 et décroissante sur l'intervalle √2 à plus l'infini.
On montre ensuite que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [4, 5] en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.
On admet la dérivée seconde et on étudie la convexité de la fonction f(x). On trouve que f(x) est concave sur l'intervalle [0, √2] et convexe sur l'intervalle [√2, +∞].
Enfin, on utilise les informations précédentes pour déterminer la position relative du segment AM (corde) par rapport à la courbe de f(x). Si le point M est compris entre 0 et √2, le segment AM est en dessous de la courbe. Si le point M est compris entre √2 et plus l'infini, le segment AM est au-dessus de la courbe.
Cet exercice permet de mettre en pratique plusieurs concepts importants en étude de fonctions et en calcul de limites, tout en abordant un problème un peu plus original concernant la position relative d'un segment par rapport à une courbe.
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Bac Maths
MPSI/PCSI
Suites et fonctions - Nouvelle Calédonie 2022
Dans cet exercice, nous étudions la fonction exponentielle et une suite définie par récurrence. Tout d'abord, nous calculons les premiers termes de la suite, u1 et u2, en utilisant la fonction f définie par f(x) = x^3 * e^x. Ensuite, nous démontrons par dérivation que pour tout x réel, f'(x) = x^2 * e^x * (x+3). En utilisant les variations de cette fonction, nous justifions le tableau de variation de f. Enfin, nous démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, -1 ≤ un ≤ 0. Pour cela, nous montrons que la proposition est vraie au rang 0, et nous supposons qu'elle soit vraie au rang n pour montrer qu'elle est vraie au rang n+1. En utilisant cette propriété, nous déduisons que la suite un est croissante et majorée par 0, et donc elle converge vers un réel l ≤ 0. En résolvant l'équation f(x) = x, nous trouvons que l est nécessairement égal à 0. Ainsi, nous avons déterminé la limite de la suite un.
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Bac Maths
MPSI/PCSI
Géométrie - Nouvelle Calédonie 2022
Dans cet exercice de géométrie dans l'espace, nous avons un cube avec un repère et différents vecteurs exprimés en fonction des vecteurs AB, AD et AE. Le but est de déterminer les coordonnées d'un point, montrer qu'un vecteur est normal à un plan, donner une équation cartésienne du plan et une représentation paramétrique d'une droite.
D'abord, nous devons trouver les coordonnées du point G en exprimant le vecteur AG en fonction des vecteurs de base. En utilisant les relations données, on trouve que les coordonnées de G sont 3, 2 et 1.
Ensuite, nous devons montrer que le vecteur N de coordonnées 2, 0 et -3 est normal au plan EHI et déterminer une équation cartésienne de ce plan. En utilisant les coordonnées du vecteur, nous écrivons une équation cartésienne de la forme 2X + 0Y - 3Z + D = 0 et trouvons que D = 3. L'équation cartésienne de EHI est donc 2X - 3Z + 3 = 0.
Nous devons également trouver les coordonnées du point I en utilisant le fait que le triangle EIF est isocèle en I. Nous trouvons que les coordonnées de I sont 3.5, 0 et 2.
Ensuite, nous devons mesurer l'angle EIF avec précision. En utilisant le produit scalaire, nous calculons le cosinus de l'angle et trouvons qu'il est égal à -5/13. En utilisant la fonction arc cosinus, nous trouvons que l'angle EIF est d'environ 112.6 degrés.
Enfin, nous devons donner une représentation paramétrique de la droite delta qui passe par le point R de coordonnées 6, -3, -1 et est dirigée par le vecteur U de coordonnées -3, 4, 1. La représentation paramétrique de delta est donc X = 6 - 3T, Y = -3 + 4T, Z = -1 + T.
Pour déterminer les coordonnées du point K, intersection de la droite delta et du plan BFG, nous utilisons la représentation paramétrique de delta en égalant X à 3. En trouvant la valeur de T qui vérifie cela, nous trouvons que les coordonnées de K sont 3, 1, 0.
Finalement, nous vérifions que le point K appartient bien à la rète BC en utilisant une équation de droite ou en remarquant que les coordonnées de K sont les demi-sommes des coordonnées de B et C, indiquant que K est le milieu de BC et donc appartient au segment BC.
