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Ce cours porte sur les complexes et vise à vérifier les affirmations suivantes. Premièrement, en utilisant la forme algébrique, la somme de la partie réelle des nombres complexes est égale à la partie réelle de la somme. Deuxièmement, la partie réelle de iz est égale à moins la partie imaginaire de z. Troisièmement, pour tout lambda appartenant à R, la partie imaginaire de lambda z est égale à lambda fois la partie imaginaire de z. Quatrièmement, la partie imaginaire du produit de nombres complexes ai n'est pas égale au produit des parties imaginaires. Enfin, si z est différent de 0, 1 sur z est égal au conjugué de z divisé par le module au carré de z, et la partie imaginaire de z divisé par w n'est pas égale à la partie imaginaire de z divisé par la partie imaginaire de w.

Bonjour, aujourd'hui on va corriger un exercice sur les complexes. Parmi les assertions suivantes, dites lesquelles sont vraies. Donc ça en fait c'est un vrai faux, on doit dire lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi. On va commencer par la première que j'ai recopiée ici. On prend un n, on prend des a1 jusqu'à an des complexes et on va les décomposer sous forme réelle et imaginaire, en forme algébrique. On a la forme algébrique, les ak égales xk plus iyk. Ces xk et yk sont des réels et on a xk égale la partie réelle de ak et yk égale la partie imaginaire de ak. Donc la partie réelle de la somme des ak, on prend notre premier terme ici et on va essayer de voir ce que ça fait pour voir si on peut tomber sur le terme de droite. On prend la partie réelle de la somme des ak, on réécrit ak, xk plus iyk, donc partie réelle plus i partie imaginaire. On regroupe dans deux sommes différentes en factorisant par i. On a deux réels ici, la somme des xk et la somme des yk. Par définition de la partie réelle, on prend ce terme là, c'est bien la partie réelle de ce grand nombre et donc on a la partie réelle de la somme des ak est égale à la somme des xk. Maintenant on prend notre autre terme, la somme des parties réelles de ak qui est égale de i allant de 1 à n. C'est la partie réelle de xk plus iyk, on remplace ak par sa valeur. Et comme ak et yk sont des réels, c'est égal à la somme des xk. Donc on a bien la somme des parties réelles des ak est égale à la partie réelle de la somme des ak. L'insertion 1 est donc vraie, on l'entoure. L'insertion 2 maintenant. La partie réelle de iz est égale à moins la partie imaginaire de z. C'est vrai et on va montrer pourquoi. On prend deux réels tels que z égale à plus ib. Donc partie réelle et partie imaginaire de z. On peut réécrire notre égalité. La partie réelle de iz est égale à la partie réelle de ia moins b. Donc on remplace z par a plus ib. Ici c'est un réel, c'est donc la partie réelle. I partie imaginaire moins plus partie réelle. Donc la partie réelle de ia moins b est égale à moins b qui est égale à moins la partie imaginaire de z par définition de a et b. L'insertion 2 est donc vraie et on l'entoure. L'insertion 3. Si lambda appartient à R, im de lambda z est égale à lambda im de z. Elle est vraie aussi. On prend toujours deux réels tels que z est égale à plus ib. Et on réécrit. La partie imaginaire de lambda z est égale à la partie imaginaire de lambda a plus i lambda b. Et là on a partie imaginaire et partie réelle. On veut la partie imaginaire. Ce sont deux réels. Notre partie imaginaire c'est lambda b. Et b c'est notre partie imaginaire de z. Ainsi on peut écrire la partie imaginaire de lambda z est égale à lambda la partie imaginaire de z. On l'entoure et l'insertion 3 est vraie. Passons à l'insertion 4. Enfin une insertion fausse on va dire. La partie imaginaire du produit d ai est égale au produit des parties imaginaires. Alors ça c'est faux. Mais pourquoi? Quand une insertion est fausse on peut tester. Quand on ne sait pas vraiment si elle est fausse ou vraie on va tester avec des petits exemples. Et si un exemple se révèle faux, ou si on a l'intuition qu'une insertion va être fausse, on va chercher à trouver un contre exemple. Pour prouver qu'une insertion est vraie c'est compliqué. Mais pour prouver qu'une insertion est fausse il suffit de trouver un contre exemple. Je l'ai marqué ici. Pour prouver qu'une insertion est fausse il suffit de trouver un contre exemple. On va faire n égale à 2. Donc notre contre exemple K n égale à 2, A1 égale 1 plus i, A2 égale 1 plus i. On fait quelque chose de très simple. On écrit avec notre exemple. La partie imaginaire du produit de nos complexes est égale à la partie imaginaire de... est égale à 2. On fait le calcul, je vous laisse faire le calcul de votre côté. Or on calcule le produit des parties imaginaires. Et c'est égal à 1. 1 n'est pas égal à 2. Donc la partie imaginaire du produit n'est pas égale au produit des parties imaginaires. Dans ce cas là, si ce n'est pas vrai dans ce cas là, ça ne peut pas être vrai dans tous les cas. Ainsi l'insertion 4 est fausse. Maintenant l'insertion 5. Si z est différent de 0, alors 1 sur z égale à... au conjugué de z divisé par le module au carré de z. Alors, pourquoi z est différent de 0? Parce que sinon 1 sur z ne serait pas défini. Ou 1 sur le module au carré de z ne serait pas défini, on ne peut pas diviser par 0. Alors c'est parti. On prend un z tel que z est différent de 0. z différent de 0 implique que le module est différent de 0. Donc ces deux choses sont définies. Et là on va utiliser des formules importantes à retenir. Et que vous avez sûrement déjà dû voir, mais qu'on va vous rappeler ici. Que le module de z au carré est égal à z fois son conjugué. Ou aussi, égal à la partie imaginaire de z au carré plus la partie réelle de z au carré. Et on peut en déduire aussi que... d'autres formules sympas à avoir c'est que la partie imaginaire de z est égale à z plus z bar. Donc le conjugué de z sur 2i. Et la partie réelle de z est égale à z plus z bar sur 2. Donc c'est souvent utile. Et ce sont des formules souvent utiles quand on manipule des complexes. Et là on va utiliser celle-ci. Donc c'est à prendre par coeur. Alors, j'ai tout fait apparaître là. z bar sur z, le module de z au carré, c'est égal à z bar sur z bar z. Donc là on utilise la formule ici. Et bien on supprime z bar en haut et en bas, qui est égal à 1 sur z. Donc on a bien l'assertion 5. On entoure et 5 est vrai. Maintenant on passe finalement à l'assertion 6. Alors la partie imaginaire de z sur w est égale à la partie imaginaire de z sur la partie imaginaire de w. Alors ça comme le produit, c'est faux parce qu'une division c'est un peu un genre de produit. Donc on trouve un contre-exemple. z égale à 1, w est égal à 1 plus i. Donc vous remarquez que z c'est un réel là, mais un réel est aussi un complexe. Donc ça marche. Et on essaie de trouver le contre-exemple le plus simple. Donc j'ai trouvé que c'était intéressant de mettre un réel. Donc la partie imaginaire de z sur w est égale à la partie imaginaire de 1 sur 1 plus i. Alors là on multiplie par le conjugué en haut et en bas. Ça permet de nous débarrasser. Quand on multiplie par ce conjugué, un complexe par son conjugué, rappelez-vous de la formule en haut, ça fait le module, donc un réel. Donc on supprime la partie imaginaire en bas. Ça nous permet d'extraire partie imaginaire et réel. Donc on multiplie par le conjugué de 1 plus i en haut et en bas. C'est une technique à connaître pour faire apparaître, quand on a une fraction de complexe, séparer, partir et les parties imaginaires. Et maintenant, c'est une question de calcul. Donc en bas ça fait 2, en haut 1 moins i. Donc la partie imaginaire de z sur w est égale à moins 1 demi. Maintenant la partie imaginaire de z sur la partie imaginaire de w. La partie imaginaire de z étant un réel, z égale à 1, donc c'est égal à 0. Donc clairement moins 1 demi n'est pas égal à 0. Donc le rapport des parties imaginaires n'est pas égal à la partie imaginaire du rapport. Et l'assertion 6 est fausse. Voilà.

Cet exercice consiste à transformer des complexes sous forme algébrique en utilisant la technique de multiplication par le conjugué du dénominateur lorsque des i apparaissent à ce niveau. Ensuite, le module carré du complexe est obtenu en faisant la somme des carrés des parties imaginaires et réelles, ce qui permet de simplifier les fractions et de rassembler les résultats pour obtenir la forme algébrique finale. La vidéo montre également une méthode alternative, consistant à poser des variables et à utiliser des symétries pour résoudre le calcul.

Salut! Aujourd'hui on va traiter d'un exercice qui va t'entraîner à mettre des complexes sous forme algébrique. On commence avec le premier complexe Z1 égale 3 plus 6i 3 moins 4i. La technique quand on a des i au dénominateur c'est de multiplier par le conjugué du dénominateur. On multiplie par ça donc le conjugué de 3 moins 4i c'est 3 plus 4i. Ici en haut et en bas. Et on a vu que quand tu multiplies un complexe par son conjugué ça donne le module au carré. Donc le module au carré c'est la partie imaginaire plus la partie réelle au carré. Donc ici 3 au carré 9 plus moins 4 au carré 16. 9 plus 16. C'est une manière rapide de calculer un peu parce que on fait souvent cette chose multipliée par le conjugué du dénominateur en haut et en bas. En haut on a ce produit, on distribue, on isole les i. Donc moins 15 sur 25 plus 30 sur 25i. On simplifie les fractions et on a Z1 égale moins 3 cinquièmes plus 6 cinquièmes de i. On entoure. C'est bon on passe au suivant. On est efficace. Alors Z2 égale 1 plus i 2 moins i au carré plus 1 moins 7i divisé par 4 plus 3i. Donc là on a des fractions donc on va essayer de les simplifier un peu de chaque côté, de supprimer de chaque côté les i au dénominateur parce qu'elles sont simples comme ça donc on va pas essayer de les rassembler. Pareil pour ce carré ici là on va essayer de simplifier d'abord la fraction à l'intérieur, faire disparaître les i au dénominateur. Ce i là avant de calculer le carré parce que pour l'instant c'est des calculs simples donc on va pas essayer de les complexifier en développant ce carré. On y va. Ça y est donc on supprime donc on multiplie à chaque fois par le conjugué du dénominateur en haut et en bas ici. 2 plus i en bas ça donne le carré du module de 2 moins i et 4 moins 3i ici le conjugué de 4 plus 3i. Voilà vous avez remarqué qu'on n'a pas simplifié le carré. On fait les calculs, on distribue en haut et en bas et là on remarque qu'en fait on a 5 et le carré donc on met le carré sur le 25 et là on n'a pas besoin de mettre au même dénominateur, c'est déjà au même dénominateur. Donc on développe ce carré et on rassemble sous une seule fraction et là on rassemble les i donc 6 moins 31i moins 25i et moins 8 moins 17 sur 25 et donc ça nous donne ce qui nous donne z2 d'égal à moins 1 moins i. Voilà on entoure c'est fini on passe au suivant. Donc z3 d'égal 2 plus 5i sur 1 moins i plus 2 moins 5i plus 1i donc là on va comme par pareille supprimer les moins i et les plus i en multipliant par le conjugué. Sauf qu'en fait multiplier par le conjugué ça revient à mettre au même dénominateur parce que ce chiffre, ce complexe est le conjugué de ce complexe et inversement ce complexe est le conjugué de ce complexe. Donc on fait ça et en même temps au même dénominateur. Donc en bas on a 1 au carré plus moins 1 au carré 2 et on a ceci en haut qui est 2 plus 5i fois 1 plus i et 2 moins 5i fois 1 moins i. On développe et on sépare partie réelle partie imaginaire. On a mis le 1 demi à gauche c'est un petit tips pour bien... là c'est pas très important mais dans les gros calculs après vous verrez c'est bien des fois quand on a quelque chose de dénominateur et qu'on a un long numérateur c'est de mettre le dénominateur devant en une petite fraction comme ça et ça prend beaucoup moins de place en hauteur et c'est beaucoup plus joli sur la copie donc je pense que ça vous aidera plus tard. Voilà on simplifie 1 demi voilà et c'est un réel. Z3 égale moins 3. En fait un petit bonus, on aurait pu le calculer autrement bon là ça a bien marché mais voilà un petit bonus qu'on pourrait remarquer. Une autre méthode c'est si on note a égale 2 plus 5i et b égale 1 plus i. En fait on remarque que z3 est égal à a plus le conjugué de b plus le conjugué de a sur b donc en fait c'est un peu une chose symétrique vous voyez là on a ça a son conjugué et le conjugué de b et b voilà donc c'est un peu une chose symétrique et c'est pour ça qu'on a un réel à la fin c'est pour ça que ça donne quelque chose d'un peu particulier. Donc là on fait des calculs littéral a a b a b plus le conjugué de a b là le le module carré de b ça fait 2 comme on l'a calculé précédemment et donc un nombre plus ou conjugué ça fait deux fois la partie réelle de ce nombre voilà donc ça c'est une formule qu'on a vu dans un exercice précédent et que vous avez vu dans notre cours aussi. On simplifie les deux voilà et c'est la partie réelle de a b maintenant on a plus qu'à calculer la partie réelle de a b qui fait moins 3 voilà donc une autre façon d'arriver à la solution qui peut bien marcher par exemple dans le dans le cas où vous avez ce genre de configuration avec a son conjugué et b son conjugué mais où a et b sont très compliqués et la méthode précédente là de calcul un peu un peu sans réfléchir pourrait moins bien marcher ainsi si vous voyez des patterns comme ça donc avec des symétries un peu comme ça vous pouvez tenter de faire des calculs avec des de poser des variables ici a et b et de faire des calculs comme ça voilà donc je vous laisse sur ça et salut

Cet exercice en mathématiques démontre que pour tout u et v dans C, l'équation suivante est vraie : le module de u plus v au carré plus le module de u moins v au carré est égal à deux fois le module de u au carré plus le module de v au carré. La formule fondamentale utilisée est que le module de z au carré est égal à z fois son conjugué. Pour prouver cette équation, on part du membre de gauche en utilisant cette formule pour développer et simplifier, puis réutilisons la formule pour arriver à notre résultat final. En conclusion, cette équation est vraie pour tout u et v dans C.

Salut, bienvenue dans cet exercice sur les complexes et on va commencer tout de suite. L'exercice consiste à démontrer que pour tout u et v dans C, on a que le module de u plus v au carré plus le module de u moins v au carré est égal à deux fois le module de u au carré plus le module de v au carré. C'est un exercice qui fait appel à une formule fondamentale qu'on va voir tout de suite après. Tout d'abord, on doit prouver que cette égalité est vraie pour tout u et v dans C. On va commencer à poser u et v dans C fixés quelconques. Je vous ai dit que ça utilisait une formule fondamentale qui est que le module de z au carré est égal à z fois son conjugué. On réécrit le membre de gauche parce qu'on aurait pu partir du membre de droite aussi mais c'est plus facile de partir du membre de gauche je trouve. Il y a des égalités où c'est plus facile de partir du membre de droite pour aller vers le membre de gauche. Là, j'ai choisi de partir du membre de gauche pour aller vers le membre de droite. On utilise la formule. Le module de u et v au carré est égal à u plus v plus son conjugué et le module de u moins v au carré est égal à u moins v fois son conjugué. Après, on va développer et on utilise le fait que le conjugué de x plus y est égal au conjugué de x plus le conjugué de y pour transférer ces conjugués là aux valeurs qui sont dessous. On développe. Ça se simplifie. Ça se simplifie encore. Ça nous donne deux fois u fois son conjugué plus v fois son conjugué. Là, on peut réutiliser la formule dans l'autre sens. Ça nous donne u fois son conjugué est égal au module au carré de u et v fois son conjugué est égal au module au carré de v. On a notre résultat. Ainsi, on peut écrire ça comme la conclusion. Quel que soit u et v dans C, on a notre résultat, l'égalité qu'on voulait prouver. On encadre et c'est fini. Allez, à plus!

Paul explique comment résoudre un exercice sur les complexes en suivant les étapes suivantes : 1. Établir l'inégalité triangulaire renversée.2. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe en fonction des parties réelles et imaginaires de ce complexe ainsi que du module de ce complexe.3. Utiliser les formules de l'air pour calculer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe. Il rappelle l'importance de bien visualiser les angles et les formes exponentielles et de prendre les formules de l'air par cœur.

Salut, c'est Paul et on se retrouve pour un nouvel exercice sur les complexes un peu plus compliqué. Vu que c'est un exercice un peu plus compliqué, on va commencer par poser les idées. Première question, on doit établir une inégalité. Cette inégalité là, ça me fait penser direct à l'inégalité triangulaire. Ok, bon, il n'y a rien d'autre à dire là-dessus. Question 2, on doit exprimer la partie réelle de A sur B, la partie imaginaire de A sur B en fonction des parties réelles et imaginaires de A et B ainsi que du module de B. Ok, partie réelle, partie imaginaire, module, tout ça, moi ça me fait penser à toutes les formules qui lient partie réelle, partie imaginaire, module, le nombre et son conjugué. J'en ai écrit quelques-unes ici, je les ai écrites, on va voir si ça nous est utile par la suite. La question de B, elle va être sûrement liée à la question A, on verra. Alpha et bêta, et calculer deux angles, et calculer la partie réelle de 1 plus Eialpha, 1 plus Eibêta ainsi que sa partie imaginaire. Donc là, on a la partie réelle imaginaire d'une fraction de complexe, on pourrait tenter d'utiliser la question précédente parce qu'on a calculé la partie réelle de A sur B. Mais moi j'ai une intuition que vu qu'on a des exponentiels complexes, surtout cette forme-là, pensez à la formule de l'air. Tout de suite, ça fait clic dans la tête. Maintenant qu'on a dit tout ça, qu'on a réfléchi vite fait, on se lance dans l'exercice. On met tout ça au propre. Première question, on a dit qu'on partait de l'inégalité triangulaire. D'abord on pose x et y, et on part de l'inégalité triangulaire. On la réécrit, par cœur évidemment. Là l'astuce c'est de partir de x et de dire que x c'est x plus 0. 0 c'est moins y plus y, donc moins y plus y, il y a 0. Donc le module de x c'est égal au module de x plus 0, donc moins y plus y. Et là on utilise l'inégalité triangulaire là-dessus. On a un nombre qui est x moins y et un autre nombre qui est y. Je vous rappelle qu'on veut faire apparaître du x moins y. Donc on a du x moins y et du y. On a du x et ce qu'il nous manquait c'était du x moins y et du y. On les a tous, maintenant il n'y a plus qu'à redonner. On fait passer l'y de l'autre côté et on a notre inégalité. On encadre et c'est fini. Moi cette inégalité je l'appelle l'inégalité triangulaire renversée. C'est tellement simple de la prouver à partir de l'inégalité triangulaire qu'elle mérite d'avoir le même nom quasiment. C'est une bonne formule à retenir, très utile dans les complexes et on l'utilise tout le temps. Question 2. On a A et B de complexe exprimé, partie réelle de A sur B et partie imaginaire de A sur B en fonction de partie réelle et imaginaire de A et B ainsi que le module de B. On pose A et B, on écrit A et B et on va essayer de séparer partie réelle et partie imaginaire. Pourquoi ils ont dit module de B? Déjà on a B au dénominateur. Un complexe au dénominateur c'est un peu compliqué, on ne peut pas séparer les parties réelles et imaginaires quand on a un complexe au dénominateur. Donc là il faut le supprimer ce complexe en faisant apparaître le module de B. On multiplie par le conjugué de B en haut et en bas et ça nous donne le module au carré de B. Là c'est un réel, on n'y touche pas. En haut on exprime ce que ça veut dire A et le conjugué de B. Donc partie réelle de A plus partie imaginaire de A, facteur 2, partie réelle de B moins partie imaginaire de B. Et là on développe le numérateur et on sépare partie réelle ici et partie imaginaire. On met I en facteur et B, le module carré de B en bas, on ne touche pas. Ainsi on a vu que la partie réelle de A sur B et la partie imaginaire de A sur B sont égales à ça et ça. Maintenant on applique pour A égale à 1. A égale à 1 ça veut dire que partie réelle de A égale à 1 et partie imaginaire de A égale à 0. Voilà ce qui nous donne ceci. Je vous conseille de l'apprendre par coeur, c'est toujours utile de savoir la partie réelle et imaginaire de l'inverse d'un complexe. On encadre toujours la conclusion. La deuxième partie. J'en avais dit qu'on pourrait tenter d'utiliser la question précédente mais je vous dis que ce n'est pas la bonne solution. Vous devez me croire sur parole mais vous pouvez essayer chez vous et c'est plus long en essayant d'appliquer la question 1. On va essayer d'appliquer les formules de l'air. Mais déjà, pourquoi appartient ce bêta à R privé de 2k plus 1pi, k appartient à Z? Vous vous souvenez, le bêta devait être différent de 0. C'est ce que ça veut dire. Ça veut dire que le 1 plus e.i bêta est différent de 0. Pourquoi? Parce que si bêta est égal à 2k plus 1pi, bêta est égal à moins 1. Il faut bien voir sur le cercle. Moins 1 et 1 on peut les écrire sous forme d'exponentiels. Ça peut être très utile souvent de bien visualiser les angles. Moi j'avais du mal au début à visualiser les formes exponentielles. Si on visualise bien a, c, ou sur le cercle, il y a des valeurs remarquables avec l'écosynus. Les valeurs remarquables d'écosynus pour bien imaginer. Là ça ne va pas nous servir trop sur l'exercice mais on comprend pourquoi c'est ça et on sait que ça ne sert à rien d'autre que ce soit défini. L'idée c'est qu'on factorise par l'angle moitié pour faire apparaître les formules de l'air. Les formules de l'air que je rappelle ici. A prendre par coeur évidemment si vous ne l'avez pas déjà fait. On écrit 1 plus ei alpha sur 1 plus ei bêta. On factorise par l'angle moitié au numérateur. Là on a notre angle moitié. Ici, ei bêta, ei alpha sur 2 fois e-i alpha sur 2, ça fait 1. Et ei alpha sur 2 fois e-i alpha sur 2, ça fait ei alpha. Pareil au dénominateur. Ça fois ça, ça fait 1. Et ça fois ça, ça fait ei bêta. Tout ça pour dire que l'angle moitié n'est pas uniquement quand on a des exponentiels de deux côtés. On peut avoir 1, parce que 1 c'est purement ei 0. Après, on peut appliquer les formules de l'air. Vous voyez là, on reconnaît ça et on passe le 2 de l'autre côté, donc c'est égal à 2 cosinus. Pareil en bas. Là on fait ei alpha sur 2 moins bêta sur 2, donc ei alpha moins bêta sur 2. Et là on a 2 cosinus alpha sur 2, 2 cosinus bêta sur 2. Les deux se simplifient. Ainsi, on sait que ei alpha moins bêta sur 2, c'est cosinus alpha moins bêta sur 2 plus i sinus alpha moins bêta sur 2. Ainsi, on obtient les parties réelles et imaginaires de ce qu'on voulait. On encadre et c'est fini. Voilà, j'espère que vous avez bien tout compris. N'hésitez pas à revoir la vidéo, à faire pause. On se retrouve pour une prochaine vidéo.

Parties réelle et imaginaire

Forme algébrique

Module

Inégalité triangulaire, partie réelle et imaginaire d’un quotient

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