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Complexes : Définitions Rappels

Cet exercice en mathématiques démontre que pour tout u et v dans C, l'équation suivante est vraie : le module de u plus v au carré plus le module de u moins v au carré est égal à deux fois le module de u au carré plus le module de v au carré. La formule fondamentale utilisée est que le module de z au carré est égal à z fois son conjugué. Pour prouver cette équation, on part du membre de gauche en utilisant cette formule pour développer et simplifier, puis réutilisons la formule pour arriver à notre résultat final. En conclusion, cette équation est vraie pour tout u et v dans C.

Salut, bienvenue dans cet exercice sur les complexes et on va commencer tout de suite. L'exercice consiste à démontrer que pour tout u et v dans C, on a que le module de u plus v au carré plus le module de u moins v au carré est égal à deux fois le module de u au carré plus le module de v au carré. C'est un exercice qui fait appel à une formule fondamentale qu'on va voir tout de suite après. Tout d'abord, on doit prouver que cette égalité est vraie pour tout u et v dans C. On va commencer à poser u et v dans C fixés quelconques. Je vous ai dit que ça utilisait une formule fondamentale qui est que le module de z au carré est égal à z fois son conjugué. On réécrit le membre de gauche parce qu'on aurait pu partir du membre de droite aussi mais c'est plus facile de partir du membre de gauche je trouve. Il y a des égalités où c'est plus facile de partir du membre de droite pour aller vers le membre de gauche. Là, j'ai choisi de partir du membre de gauche pour aller vers le membre de droite. On utilise la formule. Le module de u et v au carré est égal à u plus v plus son conjugué et le module de u moins v au carré est égal à u moins v fois son conjugué. Après, on va développer et on utilise le fait que le conjugué de x plus y est égal au conjugué de x plus le conjugué de y pour transférer ces conjugués là aux valeurs qui sont dessous. On développe. Ça se simplifie. Ça se simplifie encore. Ça nous donne deux fois u fois son conjugué plus v fois son conjugué. Là, on peut réutiliser la formule dans l'autre sens. Ça nous donne u fois son conjugué est égal au module au carré de u et v fois son conjugué est égal au module au carré de v. On a notre résultat. Ainsi, on peut écrire ça comme la conclusion. Quel que soit u et v dans C, on a notre résultat, l'égalité qu'on voulait prouver. On encadre et c'est fini. Allez, à plus!

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