Home

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

Complexes : Définitions Rappels

Cet exercice consiste à transformer des complexes sous forme algébrique en utilisant la technique de multiplication par le conjugué du dénominateur lorsque des i apparaissent à ce niveau. Ensuite, le module carré du complexe est obtenu en faisant la somme des carrés des parties imaginaires et réelles, ce qui permet de simplifier les fractions et de rassembler les résultats pour obtenir la forme algébrique finale. La vidéo montre également une méthode alternative, consistant à poser des variables et à utiliser des symétries pour résoudre le calcul.

Salut! Aujourd'hui on va traiter d'un exercice qui va t'entraîner à mettre des complexes sous forme algébrique. On commence avec le premier complexe Z1 égale 3 plus 6i 3 moins 4i. La technique quand on a des i au dénominateur c'est de multiplier par le conjugué du dénominateur. On multiplie par ça donc le conjugué de 3 moins 4i c'est 3 plus 4i. Ici en haut et en bas. Et on a vu que quand tu multiplies un complexe par son conjugué ça donne le module au carré. Donc le module au carré c'est la partie imaginaire plus la partie réelle au carré. Donc ici 3 au carré 9 plus moins 4 au carré 16. 9 plus 16. C'est une manière rapide de calculer un peu parce que on fait souvent cette chose multipliée par le conjugué du dénominateur en haut et en bas. En haut on a ce produit, on distribue, on isole les i. Donc moins 15 sur 25 plus 30 sur 25i. On simplifie les fractions et on a Z1 égale moins 3 cinquièmes plus 6 cinquièmes de i. On entoure. C'est bon on passe au suivant. On est efficace. Alors Z2 égale 1 plus i 2 moins i au carré plus 1 moins 7i divisé par 4 plus 3i. Donc là on a des fractions donc on va essayer de les simplifier un peu de chaque côté, de supprimer de chaque côté les i au dénominateur parce qu'elles sont simples comme ça donc on va pas essayer de les rassembler. Pareil pour ce carré ici là on va essayer de simplifier d'abord la fraction à l'intérieur, faire disparaître les i au dénominateur. Ce i là avant de calculer le carré parce que pour l'instant c'est des calculs simples donc on va pas essayer de les complexifier en développant ce carré. On y va. Ça y est donc on supprime donc on multiplie à chaque fois par le conjugué du dénominateur en haut et en bas ici. 2 plus i en bas ça donne le carré du module de 2 moins i et 4 moins 3i ici le conjugué de 4 plus 3i. Voilà vous avez remarqué qu'on n'a pas simplifié le carré. On fait les calculs, on distribue en haut et en bas et là on remarque qu'en fait on a 5 et le carré donc on met le carré sur le 25 et là on n'a pas besoin de mettre au même dénominateur, c'est déjà au même dénominateur. Donc on développe ce carré et on rassemble sous une seule fraction et là on rassemble les i donc 6 moins 31i moins 25i et moins 8 moins 17 sur 25 et donc ça nous donne ce qui nous donne z2 d'égal à moins 1 moins i. Voilà on entoure c'est fini on passe au suivant. Donc z3 d'égal 2 plus 5i sur 1 moins i plus 2 moins 5i plus 1i donc là on va comme par pareille supprimer les moins i et les plus i en multipliant par le conjugué. Sauf qu'en fait multiplier par le conjugué ça revient à mettre au même dénominateur parce que ce chiffre, ce complexe est le conjugué de ce complexe et inversement ce complexe est le conjugué de ce complexe. Donc on fait ça et en même temps au même dénominateur. Donc en bas on a 1 au carré plus moins 1 au carré 2 et on a ceci en haut qui est 2 plus 5i fois 1 plus i et 2 moins 5i fois 1 moins i. On développe et on sépare partie réelle partie imaginaire. On a mis le 1 demi à gauche c'est un petit tips pour bien... là c'est pas très important mais dans les gros calculs après vous verrez c'est bien des fois quand on a quelque chose de dénominateur et qu'on a un long numérateur c'est de mettre le dénominateur devant en une petite fraction comme ça et ça prend beaucoup moins de place en hauteur et c'est beaucoup plus joli sur la copie donc je pense que ça vous aidera plus tard. Voilà on simplifie 1 demi voilà et c'est un réel. Z3 égale moins 3. En fait un petit bonus, on aurait pu le calculer autrement bon là ça a bien marché mais voilà un petit bonus qu'on pourrait remarquer. Une autre méthode c'est si on note a égale 2 plus 5i et b égale 1 plus i. En fait on remarque que z3 est égal à a plus le conjugué de b plus le conjugué de a sur b donc en fait c'est un peu une chose symétrique vous voyez là on a ça a son conjugué et le conjugué de b et b voilà donc c'est un peu une chose symétrique et c'est pour ça qu'on a un réel à la fin c'est pour ça que ça donne quelque chose d'un peu particulier. Donc là on fait des calculs littéral a a b a b plus le conjugué de a b là le le module carré de b ça fait 2 comme on l'a calculé précédemment et donc un nombre plus ou conjugué ça fait deux fois la partie réelle de ce nombre voilà donc ça c'est une formule qu'on a vu dans un exercice précédent et que vous avez vu dans notre cours aussi. On simplifie les deux voilà et c'est la partie réelle de a b maintenant on a plus qu'à calculer la partie réelle de a b qui fait moins 3 voilà donc une autre façon d'arriver à la solution qui peut bien marcher par exemple dans le dans le cas où vous avez ce genre de configuration avec a son conjugué et b son conjugué mais où a et b sont très compliqués et la méthode précédente là de calcul un peu un peu sans réfléchir pourrait moins bien marcher ainsi si vous voyez des patterns comme ça donc avec des symétries un peu comme ça vous pouvez tenter de faire des calculs avec des de poser des variables ici a et b et de faire des calculs comme ça voilà donc je vous laisse sur ça et salut

Forme algébrique

RELATED

Recommended videos

Parties réelle et imaginaire

Module

Nos années

Nos principales matières