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Complexes : Définitions Rappels

Ce cours porte sur les complexes et vise à vérifier les affirmations suivantes. Premièrement, en utilisant la forme algébrique, la somme de la partie réelle des nombres complexes est égale à la partie réelle de la somme. Deuxièmement, la partie réelle de iz est égale à moins la partie imaginaire de z. Troisièmement, pour tout lambda appartenant à R, la partie imaginaire de lambda z est égale à lambda fois la partie imaginaire de z. Quatrièmement, la partie imaginaire du produit de nombres complexes ai n'est pas égale au produit des parties imaginaires. Enfin, si z est différent de 0, 1 sur z est égal au conjugué de z divisé par le module au carré de z, et la partie imaginaire de z divisé par w n'est pas égale à la partie imaginaire de z divisé par la partie imaginaire de w.

Bonjour, aujourd'hui on va corriger un exercice sur les complexes. Parmi les assertions suivantes, dites lesquelles sont vraies. Donc ça en fait c'est un vrai faux, on doit dire lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi. On va commencer par la première que j'ai recopiée ici. On prend un n, on prend des a1 jusqu'à an des complexes et on va les décomposer sous forme réelle et imaginaire, en forme algébrique. On a la forme algébrique, les ak égales xk plus iyk. Ces xk et yk sont des réels et on a xk égale la partie réelle de ak et yk égale la partie imaginaire de ak. Donc la partie réelle de la somme des ak, on prend notre premier terme ici et on va essayer de voir ce que ça fait pour voir si on peut tomber sur le terme de droite. On prend la partie réelle de la somme des ak, on réécrit ak, xk plus iyk, donc partie réelle plus i partie imaginaire. On regroupe dans deux sommes différentes en factorisant par i. On a deux réels ici, la somme des xk et la somme des yk. Par définition de la partie réelle, on prend ce terme là, c'est bien la partie réelle de ce grand nombre et donc on a la partie réelle de la somme des ak est égale à la somme des xk. Maintenant on prend notre autre terme, la somme des parties réelles de ak qui est égale de i allant de 1 à n. C'est la partie réelle de xk plus iyk, on remplace ak par sa valeur. Et comme ak et yk sont des réels, c'est égal à la somme des xk. Donc on a bien la somme des parties réelles des ak est égale à la partie réelle de la somme des ak. L'insertion 1 est donc vraie, on l'entoure. L'insertion 2 maintenant. La partie réelle de iz est égale à moins la partie imaginaire de z. C'est vrai et on va montrer pourquoi. On prend deux réels tels que z égale à plus ib. Donc partie réelle et partie imaginaire de z. On peut réécrire notre égalité. La partie réelle de iz est égale à la partie réelle de ia moins b. Donc on remplace z par a plus ib. Ici c'est un réel, c'est donc la partie réelle. I partie imaginaire moins plus partie réelle. Donc la partie réelle de ia moins b est égale à moins b qui est égale à moins la partie imaginaire de z par définition de a et b. L'insertion 2 est donc vraie et on l'entoure. L'insertion 3. Si lambda appartient à R, im de lambda z est égale à lambda im de z. Elle est vraie aussi. On prend toujours deux réels tels que z est égale à plus ib. Et on réécrit. La partie imaginaire de lambda z est égale à la partie imaginaire de lambda a plus i lambda b. Et là on a partie imaginaire et partie réelle. On veut la partie imaginaire. Ce sont deux réels. Notre partie imaginaire c'est lambda b. Et b c'est notre partie imaginaire de z. Ainsi on peut écrire la partie imaginaire de lambda z est égale à lambda la partie imaginaire de z. On l'entoure et l'insertion 3 est vraie. Passons à l'insertion 4. Enfin une insertion fausse on va dire. La partie imaginaire du produit d ai est égale au produit des parties imaginaires. Alors ça c'est faux. Mais pourquoi? Quand une insertion est fausse on peut tester. Quand on ne sait pas vraiment si elle est fausse ou vraie on va tester avec des petits exemples. Et si un exemple se révèle faux, ou si on a l'intuition qu'une insertion va être fausse, on va chercher à trouver un contre exemple. Pour prouver qu'une insertion est vraie c'est compliqué. Mais pour prouver qu'une insertion est fausse il suffit de trouver un contre exemple. Je l'ai marqué ici. Pour prouver qu'une insertion est fausse il suffit de trouver un contre exemple. On va faire n égale à 2. Donc notre contre exemple K n égale à 2, A1 égale 1 plus i, A2 égale 1 plus i. On fait quelque chose de très simple. On écrit avec notre exemple. La partie imaginaire du produit de nos complexes est égale à la partie imaginaire de... est égale à 2. On fait le calcul, je vous laisse faire le calcul de votre côté. Or on calcule le produit des parties imaginaires. Et c'est égal à 1. 1 n'est pas égal à 2. Donc la partie imaginaire du produit n'est pas égale au produit des parties imaginaires. Dans ce cas là, si ce n'est pas vrai dans ce cas là, ça ne peut pas être vrai dans tous les cas. Ainsi l'insertion 4 est fausse. Maintenant l'insertion 5. Si z est différent de 0, alors 1 sur z égale à... au conjugué de z divisé par le module au carré de z. Alors, pourquoi z est différent de 0? Parce que sinon 1 sur z ne serait pas défini. Ou 1 sur le module au carré de z ne serait pas défini, on ne peut pas diviser par 0. Alors c'est parti. On prend un z tel que z est différent de 0. z différent de 0 implique que le module est différent de 0. Donc ces deux choses sont définies. Et là on va utiliser des formules importantes à retenir. Et que vous avez sûrement déjà dû voir, mais qu'on va vous rappeler ici. Que le module de z au carré est égal à z fois son conjugué. Ou aussi, égal à la partie imaginaire de z au carré plus la partie réelle de z au carré. Et on peut en déduire aussi que... d'autres formules sympas à avoir c'est que la partie imaginaire de z est égale à z plus z bar. Donc le conjugué de z sur 2i. Et la partie réelle de z est égale à z plus z bar sur 2. Donc c'est souvent utile. Et ce sont des formules souvent utiles quand on manipule des complexes. Et là on va utiliser celle-ci. Donc c'est à prendre par coeur. Alors, j'ai tout fait apparaître là. z bar sur z, le module de z au carré, c'est égal à z bar sur z bar z. Donc là on utilise la formule ici. Et bien on supprime z bar en haut et en bas, qui est égal à 1 sur z. Donc on a bien l'assertion 5. On entoure et 5 est vrai. Maintenant on passe finalement à l'assertion 6. Alors la partie imaginaire de z sur w est égale à la partie imaginaire de z sur la partie imaginaire de w. Alors ça comme le produit, c'est faux parce qu'une division c'est un peu un genre de produit. Donc on trouve un contre-exemple. z égale à 1, w est égal à 1 plus i. Donc vous remarquez que z c'est un réel là, mais un réel est aussi un complexe. Donc ça marche. Et on essaie de trouver le contre-exemple le plus simple. Donc j'ai trouvé que c'était intéressant de mettre un réel. Donc la partie imaginaire de z sur w est égale à la partie imaginaire de 1 sur 1 plus i. Alors là on multiplie par le conjugué en haut et en bas. Ça permet de nous débarrasser. Quand on multiplie par ce conjugué, un complexe par son conjugué, rappelez-vous de la formule en haut, ça fait le module, donc un réel. Donc on supprime la partie imaginaire en bas. Ça nous permet d'extraire partie imaginaire et réel. Donc on multiplie par le conjugué de 1 plus i en haut et en bas. C'est une technique à connaître pour faire apparaître, quand on a une fraction de complexe, séparer, partir et les parties imaginaires. Et maintenant, c'est une question de calcul. Donc en bas ça fait 2, en haut 1 moins i. Donc la partie imaginaire de z sur w est égale à moins 1 demi. Maintenant la partie imaginaire de z sur la partie imaginaire de w. La partie imaginaire de z étant un réel, z égale à 1, donc c'est égal à 0. Donc clairement moins 1 demi n'est pas égal à 0. Donc le rapport des parties imaginaires n'est pas égal à la partie imaginaire du rapport. Et l'assertion 6 est fausse. Voilà.

Parties réelle et imaginaire

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