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Complexes : Définitions Rappels

Paul explique comment résoudre un exercice sur les complexes en suivant les étapes suivantes : 1. Établir l'inégalité triangulaire renversée.2. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe en fonction des parties réelles et imaginaires de ce complexe ainsi que du module de ce complexe.3. Utiliser les formules de l'air pour calculer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe. Il rappelle l'importance de bien visualiser les angles et les formes exponentielles et de prendre les formules de l'air par cœur.

Salut, c'est Paul et on se retrouve pour un nouvel exercice sur les complexes un peu plus compliqué. Vu que c'est un exercice un peu plus compliqué, on va commencer par poser les idées. Première question, on doit établir une inégalité. Cette inégalité là, ça me fait penser direct à l'inégalité triangulaire. Ok, bon, il n'y a rien d'autre à dire là-dessus. Question 2, on doit exprimer la partie réelle de A sur B, la partie imaginaire de A sur B en fonction des parties réelles et imaginaires de A et B ainsi que du module de B. Ok, partie réelle, partie imaginaire, module, tout ça, moi ça me fait penser à toutes les formules qui lient partie réelle, partie imaginaire, module, le nombre et son conjugué. J'en ai écrit quelques-unes ici, je les ai écrites, on va voir si ça nous est utile par la suite. La question de B, elle va être sûrement liée à la question A, on verra. Alpha et bêta, et calculer deux angles, et calculer la partie réelle de 1 plus Eialpha, 1 plus Eibêta ainsi que sa partie imaginaire. Donc là, on a la partie réelle imaginaire d'une fraction de complexe, on pourrait tenter d'utiliser la question précédente parce qu'on a calculé la partie réelle de A sur B. Mais moi j'ai une intuition que vu qu'on a des exponentiels complexes, surtout cette forme-là, pensez à la formule de l'air. Tout de suite, ça fait clic dans la tête. Maintenant qu'on a dit tout ça, qu'on a réfléchi vite fait, on se lance dans l'exercice. On met tout ça au propre. Première question, on a dit qu'on partait de l'inégalité triangulaire. D'abord on pose x et y, et on part de l'inégalité triangulaire. On la réécrit, par cœur évidemment. Là l'astuce c'est de partir de x et de dire que x c'est x plus 0. 0 c'est moins y plus y, donc moins y plus y, il y a 0. Donc le module de x c'est égal au module de x plus 0, donc moins y plus y. Et là on utilise l'inégalité triangulaire là-dessus. On a un nombre qui est x moins y et un autre nombre qui est y. Je vous rappelle qu'on veut faire apparaître du x moins y. Donc on a du x moins y et du y. On a du x et ce qu'il nous manquait c'était du x moins y et du y. On les a tous, maintenant il n'y a plus qu'à redonner. On fait passer l'y de l'autre côté et on a notre inégalité. On encadre et c'est fini. Moi cette inégalité je l'appelle l'inégalité triangulaire renversée. C'est tellement simple de la prouver à partir de l'inégalité triangulaire qu'elle mérite d'avoir le même nom quasiment. C'est une bonne formule à retenir, très utile dans les complexes et on l'utilise tout le temps. Question 2. On a A et B de complexe exprimé, partie réelle de A sur B et partie imaginaire de A sur B en fonction de partie réelle et imaginaire de A et B ainsi que le module de B. On pose A et B, on écrit A et B et on va essayer de séparer partie réelle et partie imaginaire. Pourquoi ils ont dit module de B? Déjà on a B au dénominateur. Un complexe au dénominateur c'est un peu compliqué, on ne peut pas séparer les parties réelles et imaginaires quand on a un complexe au dénominateur. Donc là il faut le supprimer ce complexe en faisant apparaître le module de B. On multiplie par le conjugué de B en haut et en bas et ça nous donne le module au carré de B. Là c'est un réel, on n'y touche pas. En haut on exprime ce que ça veut dire A et le conjugué de B. Donc partie réelle de A plus partie imaginaire de A, facteur 2, partie réelle de B moins partie imaginaire de B. Et là on développe le numérateur et on sépare partie réelle ici et partie imaginaire. On met I en facteur et B, le module carré de B en bas, on ne touche pas. Ainsi on a vu que la partie réelle de A sur B et la partie imaginaire de A sur B sont égales à ça et ça. Maintenant on applique pour A égale à 1. A égale à 1 ça veut dire que partie réelle de A égale à 1 et partie imaginaire de A égale à 0. Voilà ce qui nous donne ceci. Je vous conseille de l'apprendre par coeur, c'est toujours utile de savoir la partie réelle et imaginaire de l'inverse d'un complexe. On encadre toujours la conclusion. La deuxième partie. J'en avais dit qu'on pourrait tenter d'utiliser la question précédente mais je vous dis que ce n'est pas la bonne solution. Vous devez me croire sur parole mais vous pouvez essayer chez vous et c'est plus long en essayant d'appliquer la question 1. On va essayer d'appliquer les formules de l'air. Mais déjà, pourquoi appartient ce bêta à R privé de 2k plus 1pi, k appartient à Z? Vous vous souvenez, le bêta devait être différent de 0. C'est ce que ça veut dire. Ça veut dire que le 1 plus e.i bêta est différent de 0. Pourquoi? Parce que si bêta est égal à 2k plus 1pi, bêta est égal à moins 1. Il faut bien voir sur le cercle. Moins 1 et 1 on peut les écrire sous forme d'exponentiels. Ça peut être très utile souvent de bien visualiser les angles. Moi j'avais du mal au début à visualiser les formes exponentielles. Si on visualise bien a, c, ou sur le cercle, il y a des valeurs remarquables avec l'écosynus. Les valeurs remarquables d'écosynus pour bien imaginer. Là ça ne va pas nous servir trop sur l'exercice mais on comprend pourquoi c'est ça et on sait que ça ne sert à rien d'autre que ce soit défini. L'idée c'est qu'on factorise par l'angle moitié pour faire apparaître les formules de l'air. Les formules de l'air que je rappelle ici. A prendre par coeur évidemment si vous ne l'avez pas déjà fait. On écrit 1 plus ei alpha sur 1 plus ei bêta. On factorise par l'angle moitié au numérateur. Là on a notre angle moitié. Ici, ei bêta, ei alpha sur 2 fois e-i alpha sur 2, ça fait 1. Et ei alpha sur 2 fois e-i alpha sur 2, ça fait ei alpha. Pareil au dénominateur. Ça fois ça, ça fait 1. Et ça fois ça, ça fait ei bêta. Tout ça pour dire que l'angle moitié n'est pas uniquement quand on a des exponentiels de deux côtés. On peut avoir 1, parce que 1 c'est purement ei 0. Après, on peut appliquer les formules de l'air. Vous voyez là, on reconnaît ça et on passe le 2 de l'autre côté, donc c'est égal à 2 cosinus. Pareil en bas. Là on fait ei alpha sur 2 moins bêta sur 2, donc ei alpha moins bêta sur 2. Et là on a 2 cosinus alpha sur 2, 2 cosinus bêta sur 2. Les deux se simplifient. Ainsi, on sait que ei alpha moins bêta sur 2, c'est cosinus alpha moins bêta sur 2 plus i sinus alpha moins bêta sur 2. Ainsi, on obtient les parties réelles et imaginaires de ce qu'on voulait. On encadre et c'est fini. Voilà, j'espère que vous avez bien tout compris. N'hésitez pas à revoir la vidéo, à faire pause. On se retrouve pour une prochaine vidéo.

Inégalité triangulaire, partie réelle et imaginaire d’un quotient

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