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Nombre d'or
Le nombre d'or est une valeur mathématique importante. Dans cette vidéo, nous abordons une suite particulière définie avec des radicaux, et nous cherchons à déterminer son comportement. Pour cela, nous montrons que la solution positive de l'équation x²-x-1, appelée phi, est comprise entre 1 et 2. Ensuite, nous exprimons la suite en fonction de phi. Nous montrons que la suite est croissante et qu'elle converge vers phi. Nous démontrons également que la convergence est très rapide, en utilisant une inégalité géométrique. Cette méthode permet de déterminer la vitesse de convergence vers une limite en mathématiques.
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Bolzano Weierstrass
Bonjour à tous, dans ce cours nous allons étudier le théorème de Bolzano-Weierstrass. Pour bien comprendre cette mécanique, il faut être rigoureux et bien poser les sous-suites extraites. En suivant ces étapes avec précision, nous pourrons résoudre le problème de manière calme et rigoureuse.
Nous définissons une suite complexe avec une relation de récurrence de la forme un+2 = un+1 + un/2πi. Nous posons une suite auxiliaire Mn, qui correspond au maximum des valeurs absolues des deux termes consécutifs un et un+1. Notre objectif est de montrer que Mn+1 est inférieur à (1+1/(2πi))^n+1. Nous utilisons alors la propriété que le maximum est forcément plus grand que les deux valeurs. Ainsi, un est inférieur à Mn et un+1 est également inférieur à Mn, ce qui démontre cette inégalité.
Ensuite, nous tentons de majorer Mn. Pour cela, nous utilisons l'inégalité ln(un+x) < x, que nous transformons ensuite en une inégalité sur l'exponentielle. Ou alors, nous utilisons l'inégalité un+x < 2x, qui revient au même. Dans tous les cas, nous utilisons une inégalité connue sur l'exponentielle ou le logarithme.
Ensuite, nous utilisons le théorème de Bolzano-Weierstrass pour la question 3. Nous savons qu'il existe une fonction Phi telle que un de Phi(n) converge. Cette suite convergente est notre suite fameuse. Nous voulons ensuite déterminer un réel A super A0 pour lequel un de Phi(n) - un est inférieur à A^n. Pour cela, nous décomposons simplement un de Phi(n) - un en plusieurs termes et démontrons que cela fonctionne.
Enfin, pour la dernière question, nous devons revenir à la définition de la limite pour trouver une réponse claire. Nous montrons que Mn est bornée en utilisant le théorème de Bolzano-Weierstrass, qui nous dit que nous pouvons extraire une suite convergente de cette suite bornée.
En conclusion, nous avons utilisé différentes techniques, notamment le théorème de Bolzano-Weierstrass, pour résoudre ce problème de manière rigoureuse et précise.
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Suite implicite
Ce cours traite des suites implicites, qui sont plus compliquées que les suites explicites car elles ne possèdent pas d'expression explicite en fonction de n. Cependant, elles sont vérifiées par une équation. Le cours montre comment étudier ces suites en examinant leur sens de croissance et leur convergence. L'exemple présenté est une suite de polynômes qui possède une seule racine dans R+, notée Un. La suite Un est déduite comme décroissante et convergente, avec une limite de 1,5. La clé pour travailler sur les suites implicites est de partir de l'équation qu'elles vérifient plutôt que de leur valeur explicite.
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Suite arithmético géométrique
Les suites arithmético-géométriques sont un cas particulier des suites définies par récurrence. Si la suite est définie par une relation "un+1 = ax+b" avec "a" différent de 1, alors il existe un point fixe "l=b/(1-a)" qui est la seule limite possible de la suite. Pour déterminer si la suite converge, on introduit une suite auxiliaire "vn=un-l", qui, si la suite converge, est géométrique de raison "a". Si "a" est supérieur à 1 en valeur absolue, la suite diverge vers plus infini, sauf si la valeur initiale est égale à 0. Si "a" est égal à moins 1, la suite oscillera entre deux valeurs. Si "a" est inférieur à 1 en valeur absolue, la suite converge vers "l". En application à un carré divisé en neuf carrés, si le carré central est colorié et que pour chaque étape on colore le carré central de chaque carré restant, le carré finira entièrement colorié. Retenez la méthode du point fixe et de la suite auxiliaire pour maîtriser les suites arithmético-géométriques.
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Suites récurrentes
Lors de ce cours, nous nous intéressons aux suites définies par récurrence. La méthode classique pour les étudier consiste à encadrer la suite, montrer sa monotonie, prouver qu'elle est convergente et trouver sa limite. Nous commençons par encadrer la suite en utilisant une récurrence immédiate. Ensuite, nous montrons que la suite est décroissante en utilisant des encadrements. Enfin, nous prouvons la convergence de la suite en montrant qu'elle est minorée par 0. Nous trouvons ensuite les solutions de l'équation du point fixe de la fonction afin de déterminer la limite de la suite. Dans cet exemple, nous trouvons deux solutions mais excluons l'une d'entre elles en raison des contraintes initiales de la suite. Cette méthode peut être appliquée à tous les exercices sur les suites définies par récurrence.
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Suites complexes
Dans cette méthodologie, nous étudierons les suites récurrentes d'Ordre 2 et en particulier leurs solutions complexes. Cela peut être utile non seulement dans des exercices spécifiques, mais également dans d'autres types d'exercices. Tout d'abord, nous cherchons les solutions complexes d'une équation de suite spécifique, où nous voulons que notre suite satisfasse à une certaine condition. Nous résolvons d'abord l'équation sans tenir compte de cette condition. Ensuite, nous recherchons une solution particulière qui satisfera à la condition donnée. Si une solution particulière est trouvée, nous combinons cette solution avec la solution homogène pour obtenir l'ensemble complet des solutions. Cette méthode nécessite de résoudre des équations et de manipuler des polynômes. Si vous ne comprenez pas encore ce concept, ne vous inquiétez pas, vous le verrez bientôt dans le prochain chapitre.
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