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Cours par la pratique 1

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Avec et sans ordre de tirage

Le cours porte sur la détermination du nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes avec différentes combinaisons. Tout d'abord, il est expliqué que le carré d'As fixe 4 des 5 cartes. Sachant qu'il y a 28 autres cartes dans le jeu, il est précisé que cette combinaison est très rare. Ensuite, il est intéressant de déterminer le nombre de mains de 5 cartes de la même couleur dans un jeu de 32 cartes. On explique que pour cela, il est nécessaire de sélectionner 5 cartes parmi les 8 de la même couleur. Puisqu'il y a 4 couleurs dans un jeu de 32 cartes, le nombre total de mains possibles avec cette combinaison est donc de 4 fois le nombre de façons de sélectionner 5 cartes parmi 8. Le cours continue en abordant la détermination du nombre de mains avec exactement une paire de cartes. Il est souligné que cette condition signifie qu'il ne doit pas y avoir deux paires ni un brelan. Pour résoudre ce cas, il est expliqué qu'il faut sélectionner les 3 cartes restantes une par une, en faisant attention à ne pas les prendre parmi les cartes de la paire déjà fixée. Ainsi, on obtient le nombre de mains possibles en multipliant le nombre de façons de sélectionner chaque carte parmi les cartes restantes. Ensuite, on explique que pour chaque hauteur possible (7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As), le nombre de paires possibles est de 2 parmi les 4 cartes de cette hauteur. Ainsi, le nombre total de mains possibles avec une paire donnée est obtenu en multipliant le nombre de façons de sélectionner une paire parmi les hauteurs possibles. En résumé, le nombre total de mains possibles avec exactement une paire est obtenu en effectuant ces calculs pour chaque paire possible, c'est-à-dire pour chacune des 8 hauteurs possibles.
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Permutations : application

Dans ce cours, nous apprenons comment gérer les permutations. Une permutation se produit lorsque nous avons un ensemble ou une liste et que nous voulons savoir combien de façons il y a de changer l'ordre de cet ensemble. Par exemple, dans le cas d'un tirage de loto, nous voulons savoir combien de façons il y a de changer l'ordre du tirage une fois qu'il est fixé. Dans cet exemple, nous avons une conférence avec 12 scientifiques, 6 hommes et 6 femmes, dont 5 mathématiciens, 3 physiciens et 4 biologistes. Chaque groupe de scientifiques a une méthode de placement différente. La méthode des mathématiciens consiste à se placer au hasard, ce qui signifie qu'il y a 12 personnes déjà fixées et nous voulons savoir combien de façons il y a de les positionner. Le nombre de permutations pour un ensemble de n éléments est donné par la formule n!. Dans ce cas, nous avons 12 scientifiques, ce qui donne 12! permutations, soit 479 millions de possibilités. La méthode des physiciens consiste à rester ensemble, ce qui signifie que les physiciens restent côte à côte et les autres sont répartis de manière aléatoire. Dans ce cas, nous avons déjà 10 positions possibles pour le premier physicien, puisqu'ils doivent rester ensemble. Ensuite, il y a 6 permutations possibles pour les deux autres physiciens. Enfin, les autres scientifiques peuvent être positionnés de n'importe quelle façon parmi les 9 places restantes. En utilisant le principe multiplicatif, nous avons 10 x 6 x 9 permutations possibles, soit 21 millions de possibilités. La méthode des biologistes consiste à regrouper les hommes et les femmes ensemble. Dans ce cas, il y a 2 façons de positionner les deux groupes. Ensuite, chaque groupe peut être réparti de différentes façons, avec 6 permutations possibles pour les femmes et 6 permutations possibles pour les hommes. En utilisant le principe multiplicatif, nous obtenons 2 x 6! x 6!, soit 1 million 36 800 possibilités. Nous utilisons le principe multiplicatif pour calculer le nombre de permutations dans ces exemples. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à consulter la FAQ.
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Dénombrer des combinaisons

Les combinaisons sont utilisées lorsque l'ordre ne compte pas et qu'il n'y a pas de répétition. Par exemple, dans le tirage du loto où l'ordre des numéros ne compte pas, ou dans le bridge où les joueurs ont une main de 13 cartes sans répétition. Pour calculer le nombre de mains possibles dans le bridge, on utilise la formule 13 parmi 52 (ou la formule factorielle si besoin). Ensuite, si l'on veut savoir combien de mains contiennent uniquement un cœur, on choisit d'abord un cœur parmi les 13 disponibles, puis on choisit les 12 cartes restantes parmi les 39 qui ne sont pas des cœurs. On multiplie ensuite ces deux nombres pour obtenir le résultat. En résumé, il est important de reconnaître les situations où l'on utilise les combinaisons, c'est-à-dire lorsque l'on a des ensembles, que l'ordre ne compte pas et qu'il n'y a pas de répétition.
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Combinaison et intersection

Maintenant, nous allons voir comment les combinaisons fonctionnent avec les intersections. Le problème est similaire à une méthode que nous avons déjà utilisée avec les diagrammes et les intersections. Imaginons que nous prenions au hasard 20 élèves dans une classe, parmi lesquels 14 aiment les mathématiques, 7 aiment la physique et 4 aiment les deux matières. Commençons par représenter cela avec un petit diagramme. Sur les 20 élèves, 10 aiment les mathématiques, 4 aiment à la fois les mathématiques et la physique, et 3 n'aiment que la physique. En déduisant cela grâce aux 4 élèves qui se situent au milieu, nous avons 3 élèves qui n'aiment ni les mathématiques ni la physique. Maintenant, nous allons prendre au hasard des sous-groupes d'élèves parmi ces différentes catégories et nous devons déterminer combien de groupes comportent exactement 4 élèves qui aiment les mathématiques. Il s'agit d'un problème de combinaison, car l'ordre n'a pas d'importance et il n'y a pas de répétition. Donc, pour former des sous-groupes de 4 élèves, nous devons en choisir 4 parmi les 14 qui aiment les mathématiques. Combien de sous-ensembles peut-on construire parmi ces 14 élèves ? Cela équivaut à "14 parmi 4", ce que l'on peut noter mathématiquement par "14! divisé par 4! fois 10!". Si nous avons une calculatrice, cela se résout facilement. Cependant, si nous devons effectuer le calcul sans calculatrice, il est important de simplifier autant que possible. Les deux facteurs de 4! vont se simplifier et disparaître, ce qui laisse seulement "14 x 13 x 12 x 11". Les autres chiffres se simplifient également en "4 x 3 x 2". Ainsi, le résultat est de 1001. Passons maintenant à la deuxième question. Combien y a-t-il de sous-groupes de 4 élèves comportant 2 élèves qui n'aiment que les mathématiques et 2 élèves qui n'aiment que la physique ? À l'intérieur de ce sous-groupe de 4 élèves, nous avons deux sous-groupes de 2 élèves. Le premier sous-groupe comprend uniquement des élèves qui aiment la physique, tandis que le deuxième sous-groupe comprend uniquement des élèves qui aiment les mathématiques. Il y a donc 10 élèves qui aiment seulement les mathématiques et 3 élèves qui aiment seulement la physique. Nous devons en choisir 2 parmi les 10 élèves qui aiment les mathématiques et 2 parmi les 3 élèves qui aiment seulement la physique. Cela revient à "2 parmi 10" multiplié par "2 parmi 3". Le calcul peut être simplifié, par exemple, "2 parmi 10" peut être résolu par "10 x 9 divisé par 2", ce qui donne 45. "2 parmi 3" est simplement 3. Donc, au total, cela nous donne 135 possibilités. Voilà comment nous pouvons utiliser les combinaisons et les intersections ensemble.
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Classique : jetons colorés

Ce cours explique différentes méthodes de dénombrement en utilisant des jetons de couleurs. Le premier exercice consiste à tirer simultanément 4 jetons parmi 20, sans répétition. Le résultat est calculé en utilisant le nombre de combinaisons possibles (4845). Ensuite, l'exercice demande le nombre de tirages avec quatre numéros identiques. Il faut donc identifier les numéros qui ont au moins quatre occurrences, qui sont 0, 2 et 7. Le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque numéro, et les résultats sont additionnés (67). Le troisième exercice concerne les tirages avec uniquement des jetons blancs. Il y a 12 jetons blancs au total, et le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour choisir 4 jetons parmi 12 (495). Ensuite, il est demandé le nombre de tirages avec des jetons de la même couleur. Les couleurs possibles sont blanc et rouge, et le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque couleur, qui sont ensuite additionnées (565). Le cinquième exercice demande de former le nombre 2020 avec les jetons. Comme l'ordre ne compte pas, il faut choisir deux jetons avec le numéro 2 et deux jetons avec le numéro 0. Le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque numéro, qui sont ensuite multipliées entre elles (268). Enfin, le dernier exercice demande le nombre de tirages comportant au moins un jeton avec un numéro différent des autres. Pour simplifier le calcul, on considère l'événement contraire, c'est-à-dire avoir que des jetons identiques. Ce nombre de tirages est déjà calculé précédemment (76). En soustrayant ce nombre du nombre total de tirages possibles, on obtient le résultat final (4739). En conclusion, les combinaisons et le dénombrement ont été utilisés pour résoudre ces exercices de manière générale.
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Entiers dont la somme des chiffres vaut 3

Le cours est une explication détaillée de la résolution d'un exercice mathématique. Il s'agit de déterminer le nombre de nombres entiers inférieurs à une puissance de 10 qui ont une somme de chiffres égale à 3. Le cours commence par des exemples avec des puissances de 10 de plus en plus grandes pour illustrer la démarche. Ensuite, l'enseignant propose
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Cours par la pratique 1

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Avec et sans ordre de tirage

Dans ce cours, nous devons déterminer le nombre de mains possibles pour différentes contraintes dans un jeu de cartes de 32. Tout d'abord, nous devons calculer le nombre de mains possibles avec 5 cartes de la même couleur. Pour cela, nous sélectionnons une couleur parmi les 4 disponibles, puis nous choisissons 5 cartes parmi les 8 de cette couleur. Donc le nombre total de mains possibles avec 5 cartes de la même couleur est 4 fois le coefficient binomial de 5 parmi 8. Ensuite, nous devons calculer le nombre de mains possibles avec exactement une paire. Ici, il est important de noter que le mot-clé "exactement" est crucial. Nous devons choisir les deux cartes de la paire parmi les 4 cartes de même rang, puis choisir les 3 cartes restantes parmi les 30 cartes restantes. Nous effectuons ce raisonnement pour chaque paire possible, puis nous multiplions le nombre de paires possibles par le nombre de mains possibles pour chaque paire. Ainsi, le nombre total de mains possibles avec exactement une paire est le produit de tous les résultats précédents. Dans ce cours, il est fréquent de diviser le raisonnement en deux étapes. Tout d'abord, nous fixons une contrainte (couleur ou hauteur) et déterminons combien de cartes doivent être choisies en fonction de cette contrainte. Ensuite, nous calculons le nombre de possibilités pour cette contrainte spécifique. Nous répétons ce raisonnement pour chaque possibilité et multiplions les résultats pour obtenir le nombre total de mains possibles.
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Permutations : application

Dans ce cours, nous examinons la gestion des permutations. Une permutation se produit lorsque nous avons un ensemble ou une liste et que nous voulons savoir combien de façons il existe de changer l'ordre de cet ensemble, car un ensemble n'a pas d'ordre spécifique. Par exemple, si nous avons les numéros gagnants d'une loterie, combien de façons pouvons-nous réarranger ces numéros une fois le tirage effectué ? C'est ce que nous allons voir dans cette méthode. Prenons un exemple concret : nous avons une conférence avec 12 scientifiques, dont 6 hommes et 6 femmes. Parmi eux, il y a 5 mathématiciens, 3 physiciens et 4 biologistes. Chaque domaine de science a décidé d'utiliser une méthode de placement différente. Quelles sont les possibilités pour chaque méthode ? La première méthode, celle des mathématiciens, consiste à se placer au hasard. Cela signifie que nous avons 12 personnes dont nous connaissons l'identité, et nous voulons savoir combien de façons nous pouvons les positionner. Cela correspond à la définition même d'une permutation. Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est noté n! (n factorielle). Par exemple, pour 12 personnes, il y a 12! façons possibles de les positionner. Cela peut monter très rapidement, et dans ce cas précis, il y a 479 millions de façons de positionner ces scientifiques. C'est la méthode la plus aléatoire, car il n'y a aucune contrainte. La deuxième méthode, celle des physiciens, consiste à rester ensemble. Les physiciens préfèrent rester côte à côte, tandis que les autres scientifiques peuvent être répartis n'importe où ailleurs. Il y a trois physiciens qui doivent rester ensemble, donc il y a 10 positions possibles pour eux dans la liste. Ensuite, les physiciens eux-mêmes peuvent permuter les uns avec les autres, ce qui donne 3! (3 factorielle) permutations possibles. Une fois la position du premier groupe fixée, il reste 9 personnes à positionner de manière aléatoire, ce qui donne 9! permutations possibles. En appliquant le principe multiplicatif, le nombre total de possibilités est de 10 x 6 x 9! (soit environ 21 millions de possibilités). C'est déjà beaucoup moins que la méthode précédente, car il y a des contraintes. La troisième méthode, celle des biologistes, consiste à regrouper les hommes et les femmes. Il y a deux façons de positionner ces deux groupes. Ensuite, à l'intérieur de chaque groupe, les permutations possibles sont de 6! pour les femmes et de 6! pour les hommes. En appliquant le principe multiplicatif, le nombre total de possibilités est de 2 x 6! x 6! (soit environ 1 036 800 possibilités). Encore une fois, le nombre de possibilités est beaucoup plus limité en raison des contraintes imposées. Ces exemples illustrent comment compter les permutations dans des situations simples. N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions supplémentaires.
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Dénombrer des combinaisons

Les combinaisons sont utilisées dans les situations où l'ordre des éléments ne compte pas et où il n'y a pas de répétition. Par exemple, lors du tirage du loto, où l'ordre des numéros n'a pas d'importance. Un autre exemple est le jeu de bridge, où chaque joueur reçoit une main de 13 cartes. Le nombre de mains possibles peut être calculé en utilisant la formule des combinaisons. Dans cet exemple, le nombre de mains possibles est de 13 parmi 52. Ensuite, si l'on souhaite déterminer le nombre de mains contenant uniquement un cœur, on doit choisir une carte parmi les 13 cœurs disponibles, puis choisir les 12 cartes restantes parmi les 39 cartes qui ne sont pas des cœurs. Le nombre de mains contenant uniquement un cœur peut donc être calculé en multipliant le nombre de possibilités pour choisir un cœur (13) par le nombre de possibilités pour choisir les 12 cartes restantes parmi les 39 (12 parmi 39). En conclusion, il est important de savoir quand utiliser les combinaisons, c'est-à-dire lorsque l'ordre ne compte pas et qu'il n'y a pas de répétition.
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Combinaison et intersection

Dans ce cours, nous apprenons à utiliser les combinaisons avec les intersections. Pour illustrer cela, nous prenons l'exemple de 20 élèves, parmi lesquels 14 aiment les maths, 7 aiment la physique et 4 aiment les deux matières. Nous utilisons un diagramme pour représenter ces informations. Parmi les 20 élèves, 10 aiment les maths, 4 aiment à la fois les maths et la physique, et 3 n'aiment que la physique. En déduisant cela, nous pouvons conclure que 3 élèves n'aiment ni les maths ni la physique. Ensuite, nous nous demandons combien de sous-groupes de 4 élèves parmi les 14 qui aiment les maths peuvent être formés. Comme il s'agit d'une combinaison, l'ordre n'a pas d'importance et il n'y a pas de répétition. Nous devons donc calculer combien de sous-ensembles possibles peuvent être créés avec 4 élèves parmi les 14. Cela correspond à "14 parmi 4", ce qui signifie 14! divisé par 4! et 10!. Simplifiant cette expression, nous obtenons 14 x 13 x 12 x 11, soit 1001. Ensuite, nous nous demandons combien de groupes comportent 2 élèves qui n'aiment que les maths et 2 élèves qui n'aiment que la physique. Il s'agit de deux sous-groupes distincts à l'intérieur du groupe de 4 élèves. Nous avons 10 élèves qui n'aiment que les maths et 3 élèves qui n'aiment que la physique. Nous devons donc choisir 2 élèves parmi les 10 qui n'aiment que les maths et 2 élèves parmi les 3 qui n'aiment que la physique. Cela correspond à "2 parmi 10" multiplié par "2 parmi 3". En effectuant les calculs, nous obtenons 135 possibilités. Ainsi, nous pouvons utiliser les combinaisons et les intersections pour résoudre des problèmes de ce type.
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Classique : jetons colorés

Dans ce cours, nous avons étudié différentes méthodes de dénouement en utilisant des jetons de différentes couleurs. Nous avons récapitulé les différentes étapes de notre analyse. Nous avons commencé par calculer le nombre total de tirages simultanés de 4 jetons parmi les 20 disponibles, sans répétition possible. Cette étape nous a permis d'obtenir le résultat de 4845 possibilités. Ensuite, nous avons calculé le nombre de tirages avec exactement 4 numéros identiques. Pour cela, nous avons identifié les couleurs qui apparaissent au moins 4 fois parmi les jetons, à savoir les numéros 0, 2 et 7. Nous avons décompté le nombre de jetons de chaque couleur et utilisé la formule de combinaison pour obtenir le résultat de 67 possibilités. La troisième question portait sur le nombre de tirages ne comportant que des jetons blancs. Nous avons identifié qu'il y avait 12 jetons blancs et avons utilisé la formule de combinaison pour obtenir le résultat de 495 possibilités. Pour la quatrième question, nous devions calculer le nombre de tirages avec uniquement des jetons de la même couleur. Nous avons identifié que seuls les jetons blancs et rouges apparaissaient plus de 4 fois. En utilisant la formule de combinaison, nous avons obtenu le résultat de 565 possibilités. Enfin, la dernière question était un peu plus complexe. Nous devions calculer le nombre de tirages comportant au moins un jeton avec un numéro différent des autres. Pour simplifier le problème, nous avons considéré l'événement contraire, c'est-à-dire le nombre de tirages ayant tous les numéros identiques. Nous avions déjà calculé ce nombre précédemment, il était de 76 possibilités. En soustrayant ce nombre du nombre total de tirages, nous avons obtenu le résultat de 4739 possibilités. Il est important de toujours réfléchir aux événements contraires lorsqu'on rencontre des problèmes de dénombrement et de probabilité complexes. Cela peut rendre les calculs beaucoup plus simples et plus efficaces. Voilà, nous avons maintenant terminé cette méthode de conclusion utilisant les combinaisons et le dénombrement de manière générale.
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Entiers dont la somme des chiffres vaut 3

Dans ce cours, on cherche à déterminer combien de nombres entiers inférieurs à 10^P existent, avec P étant un entier naturel. On constate que cela forme une suite géométrique de la forme 0, 1, 2, 3, ..., 10^P - 1, 10^P. Il y a donc 10^P + 1 nombres entiers. Ensuite, on
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Cours par la pratique 1

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Avec et sans ordre de tirage

Le cours explique comment déterminer le nombre de mains de 5 cartes d'un jeu de 32 cartes dans différentes situations. Tout d'abord, il explique comment calculer le nombre de mains avec 5 cartes de la même couleur. Il faut choisir une couleur parmi les 4 disponibles, puis sélectionner 5 cartes parmi les 8 de cette couleur. Donc, le nombre de mains possibles est égal à 4 fois le coefficient binomial "5 parmi 8". Ensuite, le cours aborde le calcul du nombre de mains avec exactement une paire. Il faut choisir une paire parmi les 8 hauteurs possibles (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), puis sélectionner les 3 autres cartes parmi les 30 restantes (32 cartes moins la paire). On applique le principe du coefficient binomial à chaque étape du choix des cartes. Donc, le nombre de mains possibles est égal à 8 fois le coefficient binomial "2 parmi 4" multiplié par le coefficient binomial "1 parmi 28" multiplié par le coefficient binomial "1 parmi 24" multiplié par le coefficient binomial "1 parmi 20". En résumé, pour déterminer le nombre de mains de 5 cartes d'un jeu de 32 cartes, le cours explique qu'il faut prendre en compte différentes contraintes telles que la couleur des cartes ou la présence d'une paire. Il utilise les coefficients binomiaux pour calculer le nombre de combinaisons possibles dans chaque situation. Par conséquent, le nombre total de mains possibles dépend des différentes contraintes et doit être calculé en multipliant les coefficients binomiaux correspondants.
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Permutations : application

Dans ce cours, nous abordons le sujet de la gestion des permutations. Une permutation correspond à la manière dont on peut changer l'ordre d'un ensemble ou d'une liste. Par exemple, dans le cas d'un tirage de loto, combien de façons différentes y a-t-il pour changer l'ordre des numéros une fois le tirage effectué ? Dans notre exemple, nous avons une conférence avec 12 scientifiques, dont 6 hommes et 6 femmes. Parmi eux, il y a 5 mathématiciens, 3 physiciens et 4 biologistes. Chaque groupe a décidé d'adopter une méthode de placement différente. La méthode des mathématiciens consiste à se placer au hasard. Dans ce cas, nous avons 12 personnes dont l'ordre doit être déterminé, ce qui correspond à une permutation. Le nombre de permutations d'un ensemble de n éléments est donné par la formule n!. Donc, dans notre cas, il y a 12! façons de positionner les scientifiques, soit 479 001 600 possibilités. La méthode des physiciens est de rester ensemble. Nous avons donc 3 physiciens qui doivent être placés ensemble, ce qui correspond à choisir l'une des 10 premières positions pour les placer. Ensuite, les physiciens peuvent permuter entre eux, ce qui donne 3! possibilités. Enfin, les autres scientifiques peuvent être placés de manière aléatoire dans les 9 positions restantes, soit 9! façons. En utilisant le principe multiplicatif, nous obtenons un total de 10 x 6 x 9! = 21 218 400 possibilités. La méthode des biologistes consiste à regrouper les femmes et les hommes ensemble. Nous avons deux choix possibles pour placer ces deux groupes. Ensuite, chaque groupe peut être permuté de manière aléatoire parmi les 6 membres, ce qui donne 6! possibilités pour les femmes et 6! possibilités pour les hommes. En utilisant le principe multiplicatif, nous obtenons un total de 2 x 6! x 6! = 1 036 800 possibilités. Ainsi, nous avons vu comment gérer les permutations dans ces petits exemples. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à consulter la FAQ.
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Dénombrer des combinaisons

Les combinaisons sont utilisées lorsque l'ordre des éléments ne compte pas et qu'il n'y a pas de répétition. Par exemple, dans le jeu du bridge, chaque joueur reçoit une main de 13 cartes extraites d'un jeu de 52 cartes. Pour savoir combien de mains possibles peuvent être distribuées, nous utilisons la formule "13 parmi 52". Ensuite, si nous voulons savoir combien de mains contiennent uniquement un cœur, nous utilisons la formule "13 parmi 1" pour choisir le cœur, et "12 parmi 39" pour choisir les 12 cartes restantes parmi celles qui ne sont pas des cœurs. En utilisant les combinaisons, nous pouvons calculer facilement le nombre de possibilités sans tenir compte de l'ordre. Le principal est de savoir quand utiliser les combinaisons, c'est-à-dire lorsque nous travaillons avec des ensembles où l'ordre ne compte pas et où il n'y a pas de répétition.
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Combinaison et intersection

Dans ce cours, nous abordons le concept des combinaisons avec des intersections. Pour illustrer cela, prenons l'exemple de 20 élèves d'une classe. Parmi ces élèves, 14 aiment les maths, 7 aiment la physique et 4 aiment les deux. Pour comprendre cela visuellement, nous pouvons mettre en place un diagramme. Parmi les 20 élèves, 10 aiment les maths, 4 aiment les maths et la physique, et 3 n'aiment que la physique. En déduisant cela, nous arrivons à la conclusion qu'il y a 3 élèves qui n'aiment ni les maths ni la physique. Maintenant, notre objectif est de prendre au hasard des sous-groupes de 4 élèves parmi ces groupes et de déterminer combien comportent 4 élèves qui aiment les maths. Étant donné qu'il n'y a pas d'ordre et pas de répétition dans les groupes, nous devons utiliser des combinaisons. Dans nos sous-groupes de 4 élèves, nous devons en choisir 4 parmi les 14 élèves qui aiment les maths. Pour calculer le nombre de sous-ensembles possibles parmi ces 14, nous utilisons la formule 14! / (4! * 10!). Cependant, cette formule peut être simplifiée en supprimant certains termes. Ainsi, nous obtenons 14 * 13 * 12 * 11 / (4 * 3 * 2 * 1), ce qui équivaut à 1001. Pour la deuxième question, nous devons déterminer combien de sous-groupes de 4 élèves comportent 2 élèves qui aiment seulement les maths et 2 élèves qui aiment seulement la physique. Il s'agit en réalité de deux sous-groupes de 2 élèves, l'un avec des élèves qui aiment la physique et l'autre avec des élèves qui aiment les maths. Il y a 10 élèves qui aiment seulement les maths et 3 élèves qui aiment seulement la physique. Ainsi, nous devons choisir 2 élèves parmi les 10 qui aiment les maths et 2 élèves parmi les 3 qui aiment la physique. Le calcul est le suivant : 2! / (10! * (10-2)!) * 2! / (3! * (3-2)!). Simplifié, cela donne 2 * 9 * 2 / 2 * 3, soit 135 possibilités au total. Cela montre comment nous pouvons utiliser les combinaisons et les intersections pour résoudre des problèmes comme celui-ci.
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Classique : jetons colorés

Ce cours traite des méthodes de dénombrement en maths, en se concentrant sur les combinaisons. Il commence par expliquer qu'il s'agit d'un tirage simultané de 4 jetons parmi un ensemble de 20 jetons indiscernables, comprenant des jetons blancs numérotés 0, des jetons rouges numérotés 7, des jetons blancs numérotés 2 et des jetons rouges numérotés 5. Le nombre de tirages possibles sans répétition est calculé comme 4 parmi 20, donnant un résultat de 4845. Ensuite, le cours examine le nombre de tirages avec les quatre numéros identiques. Il est noté que seuls les jetons numérotés 0, 2 et 7 peuvent être tirés quatre fois, et les nombres de jetons disponibles pour chaque option sont 8, 5 et 4 respectivement. Le calcul est fait pour chaque option et les résultats sont additionnés, ce qui donne un total de 67 tirages possibles. Le cours poursuit en explorant le nombre de tirages possibles avec uniquement des jetons blancs. Il est indiqué que le nombre de jetons blancs est de 12 et le nombre de tirages possibles sans répétition est calculé comme 4 parmi 12, donnant un résultat de 495. Ensuite, le nombre de tirages avec des jetons de la même couleur est examiné. Il est noté que seuls les jetons blancs et rouges peuvent être tirés plus de quatre fois, et les nombres de jetons disponibles pour chaque option sont de 12 et 8 respectivement. Les calculs sont effectués pour chaque option et les résultats sont additionnés, donnant un total de 565 tirages possibles. Ensuite, le cours aborde la question de la formation du nombre 2020. Il est expliqué que l'ordre des chiffres dans le tirage ne compte pas, donc plusieurs arrangements du même nombre sont considérés comme équivalents. Puisque le nombre 2020 signifie deux jetons avec le chiffre 2 et deux jetons avec le chiffre 0, le nombre de possibilités pour chaque chiffre est pris en compte et les résultats sont multipliés ensemble, donnant un total de 268 tirages possibles. Enfin, le cours examine la question des tirages comportant au moins un jeton avec un numéro différent des autres. Il est noté que l'événement contraire est d'avoir tous les jetons identiques, pour lequel un total de 76 tirages possibles a déjà été calculé. Le nombre de tirages totaux est soustrait du nombre de tirages avec tous les jetons identiques, ce qui donne un total de 4739 tirages possibles avec au moins un jeton différent des autres. En conclusion, ce cours donne un aperçu des méthodes de dénombrement avec un accent sur les combinaisons. Il aborde une variété de problèmes et explique les étapes pour trouver les solutions.
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Entiers dont la somme des chiffres vaut 3

En résumé, dans ce cours, on cherche à déterminer le nombre de nombres entiers inférieurs à 10^P qui ont une somme de leurs chiffres égale à 3. On commence par regarder les cas particuliers lorsque P est égal à 0 et 1, où on trouve respectivement 0 et 1 nombre correspondant à la condition. Ensuite, pour P égal à 2, on trouve