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Révisions Maths lycée
Probas Terminale
MPSI/PCSI
Seuil de probabilité
Les intervalles de fluctuation sont utilisés pour évaluer si une modélisation probabiliste correspond à la réalité. Ils permettent de déterminer si une certaine probabilité est respectée avec un certain seuil de confiance.
Pour illustrer cela, prenons l'exemple d'une troupe de théâtre qui souhaite savoir si elle est sûre de pouvoir jouer avec un intervalle de confiance de plus de 95%. On suppose que le nombre de spectateurs suit une loi binomiale de paramètres n=100 et p=0.15.
Pour trouver la réponse, nous devons repérer l'intervalle demandé (plus grand que 10), les paramètres de la loi (n=100 et p=0.15) et le seuil de confiance (95%).
En utilisant une calculette, nous calculons la probabilité que le nombre de spectateurs soit supérieur ou égal à 10, ce qui donne 94.5%. Cette probabilité est juste en dessous du seuil de 95%, ce qui signifie que la troupe n'est pas sûre de pouvoir jouer avec un intervalle de confiance de plus de 95%.
Ainsi, les intervalles de fluctuation nous permettent d'évaluer si une modélisation probabiliste correspond à la réalité en utilisant des tests et des seuils de confiance.
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MPSI/PCSI
Déterminer un intervalle de fluctuation
Le cours porte sur la détermination de l'intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale. Les paramètres de la loi binomiale sont les suivants : n = 40 et p = 0,2. Le seuil α est fixé à 0,05.
Pour calculer l'intervalle de fluctuation centré au seuil 1-α, on commence par diviser α par 2, ce qui donne α/2 = 0,025. Ensuite, on cherche le plus petit entier k tel que la probabilité P(X<k) soit supérieure à α/2, soit 0,025. On cherche également le plus petit entier i tel que la probabilité P(X<i) soit supérieure à 1-α/2, soit 0,095.
L'intervalle de fluctuation correspond à la zone où la variable aléatoire X a 95% de chances de se situer. On souhaite que les zones situées à l'extérieur de cet intervalle aient une probabilité de α/2, soit 2,5% de chance.
Pour trouver les bornes de cet intervalle, on effectue des calculs à l'aide d'une calculatrice. En tâtonnant, on trouve que P(X<3) est égal à 0,008 et P(X<4) est égal à 0,0285. Le premier entier qui fonctionne est 3, car pour X<2, la probabilité est inférieure à α/2.
Pour la borne supérieure de l'intervalle, on cherche un entier i tel que P(X<i) soit supérieur à 0,0975. On trouve notamment que P(X<12) est égal à 0,0957 et P(X<13) est égal à 0,0981. L'entier recherché est donc 13.
En résumé, l'intervalle de fluctuation centré associé à la variable aléatoire X, avec un seuil de 0,095, est de 3 à 13. Cela signifie qu'il y a 95% de chances que la variable aléatoire X se situe entre 3 et 13.
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MPSI/PCSI
Classique : efficacité d'un médicament ?
Ce cours explique comment calculer l'efficacité d'un médicament à partir d'une étude sur 400 patients. Le médicament est efficace à 90%, ce qui signifie que les patients ont 90% de chances de guérir lorsqu'ils le prennent. La loi G suit une loi binomiale avec un paramètre n de 400 et un paramètre p de 0,9.
Ensuite, l'article explique comment calculer un intervalle de fluctuation centré à 95% pour G sur 400. Cela permet d'obtenir la fréquence des patients guéris, ramenée à une unité. La calculatrice est utilisée pour effectuer les calculs.
Il est conclu que dans 95% des cas, le nombre de patients guéris se situera entre 348 et 371. En le ramenant en pourcentage, cela signifie que dans la très grande majorité des cas, environ 87% à 92,5% des patients guéris.
Finalement, la question est posée de savoir si 87,5% est bien situé dans l'intervalle de confiance. La réponse est oui, car 87,5% est bien supérieur à la borne inférieure de l'intervalle, qui est de 87%.
Cet article présente un exercice classique de calcul d'intervalle de fluctuation pour l'efficacité d'un médicament. En cas de questions supplémentaires, il est recommandé de consulter la FAQ.
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BCPST
Seuil de probabilité
Dans ce dernier sous-chapitre sur les variables aléatoires et la loi binomiale, nous abordons les intervalles de fluctuation. Cette notion est essentielle pour modéliser des probabilités et des événements de la vie réelle. Une modélisation permet de représenter la réalité, mais elle ne correspond pas toujours parfaitement à celle-ci. Les intervalles de fluctuation nous permettent de vérifier si notre modélisation est correcte en utilisant un certain seuil de confiance.
Prenons l'exemple d'une troupe de théâtre qui souhaite connaître le nombre de spectateurs présents lors d'une représentation. Supposons que ce nombre, noté x, suit une loi binomiale avec des paramètres n=100 et p=0.15. Nous savons que le nombre de spectateurs sera compris entre 0 et 100, mais s'il y a moins de 10 personnes, la troupe ne jouera pas.
La question est donc de savoir si la troupe peut être sûre de jouer avec un intervalle de confiance de plus de 95%. Pour répondre à cette question, nous devons utiliser les intervalles de fluctuation. La méthode consiste à déterminer l'intervalle requis, le seuil et les paramètres de la loi de probabilité. Dans notre cas, l'intervalle est supérieur à 10, les paramètres de la loi binomiale sont n=100 et p=0.15, et le seuil est de 95%.
Nous calculons alors la probabilité que x soit supérieur ou égal à 10 en utilisant une calculatrice. Cette probabilité est équivalente à 1-p(x inférieur ou égal à 9), ce qui donne une valeur de 94.5%. Cette valeur est donc légèrement inférieure à 95%, ce qui signifie que la troupe n'est pas sûre de pouvoir jouer avec un intervalle de confiance de 95%.
Ceci illustre comment les intervalles de confiance et les intervalles de fluctuation peuvent être utilisés pour évaluer la justesse d'une modélisation.
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BCPST
Déterminer un intervalle de fluctuation
Dans ce cours, nous devons déterminer un intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire X. La loi binomiale est utilisée, avec n égal à 40 et p égal à 0,2. Nous posons α égal à 0,05 et souhaitons trouver un intervalle centré au seuil 1-α pour X. Tout d'abord, nous calculons α/2, soit 0,025. Ensuite, nous cherchons le plus petit entier k tel que la probabilité p(x<k) soit supérieure à 0,025, et le plus petit entier i tel que la probabilité p(x<i) soit supérieure à 0,095. Nous recherchons ainsi une zone où nous avons 95% de chances de nous situer. En utilisant des calculs et des approximations, nous trouvons que k=3 et i=13. Finalement, notre intervalle de fluctuation centré associé à X au seuil 0,095 est de 3 à 13. En d'autres termes, nous avons 95% de chances que X soit compris entre 3 et 13.
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BCPST
Classique : efficacité d'un médicament ?
Ce cours traite de l'efficacité d'un médicament à travers une étude probabiliste. Un médicament est jugé efficace à 90%, ce qui signifie que les patients ont 90% de chances de guérir en le prenant. Une expérience est réalisée avec 400 patients malades pour évaluer le taux de guérison. En utilisant la loi binomiale, on cherche à déterminer un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95% pour le nombre de patients guéris. Les calculs effectués indiquent que l'intervalle se situe entre 348 et 371 patients guéris, soit entre 87% et 92,5% si on les ramène en pourcentage. Ainsi, il est conclu que dans la grande majorité des cas, environ 90% des patients guérissent avec ce médicament. La question de savoir si 87,5% est inclus dans l'intervalle de confiance est également abordée, et il est déduit que cette valeur est bien située dans l'intervalle. Cet exercice illustre donc le calcul classique d'un intervalle de fluctuation pour évaluer l'efficacité d'un médicament. Des questions supplémentaires peuvent être consultées dans la FAQ.
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ECG
Seuil de probabilité
Dans ce cours, nous abordons les intervalles de fluctuation, qui sont utilisés pour évaluer la modélisation de probabilités dans la vie réelle. Nous utilisons l'exemple d'une troupe de théâtre qui joue devant un public dont le nombre de spectateurs suit une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0.15.
L'objectif est de déterminer si la troupe peut jouer en toute confiance avec un intervalle de confiance de plus de 95%. Pour cela, nous devons calculer la probabilité que le nombre de spectateurs soit supérieur ou égal à 10, puisque si le nombre de spectateurs est inférieur à 10, la troupe ne joue pas.
En utilisant les paramètres de la loi binomiale et le seuil de 95%, nous calculons que la probabilité que le nombre de spectateurs soit supérieur ou égal à 10 est de 94.5%, ce qui est légèrement inférieur à 95%. Par conséquent, la troupe n'est pas sûre de pouvoir jouer avec un intervalle de confiance de 95%.
Cela démontre comment les intervalles de confiance et les intervalles de fluctuation peuvent être utilisés pour évaluer la modélisation de probabilités dans des situations réelles.
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ECG
Déterminer un intervalle de fluctuation
Dans ce cours, nous devons déterminer l'intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire X. La loi binomiale est connue, avec une valeur de n égale à 40 et une probabilité p égale à 0,2. Nous posons α égale à 0,05 et souhaitons déterminer un intervalle de fluctuation centré au seuil 1-α pour X.
Pour commencer, nous calculons α divisé par 2, soit 0,025. Ensuite, nous recherchons deux valeurs : la plus petite valeur de k pour laquelle P(X<k) est supérieure à 0,025, et la plus petite valeur de i pour laquelle P(X<i) est supérieure à 0,095.
Sur un schéma, nous cherchons la zone dans laquelle nous avons 95% de chances de nous situer. Nous devons avoir α sur 2 (soit 2,5%) à l'extérieur de cette zone. Les bornes de cet intervalle sont k et i.
En utilisant des calculs, nous déterminons que P(X<3) est égale à 0,008 et P(X<13) est égale à 0,0981. Ainsi, nous trouvons que l'intervalle de fluctuation centré associé à X pour un seuil de 0,095 est de 3 à 13.
En résumé, cela signifie qu'il y a 95% de chances que la variable aléatoire X soit comprise entre 3 et 13.
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ECG
Classique : efficacité d'un médicament ?
Le cours porte sur l'efficacité d'un médicament, qui est évaluée à 90%. 400 patients ont reçu le médicament et l'on souhaite calculer un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95% pour évaluer le pourcentage de patients guéris. On utilise la loi binomiale avec n=400 et p=0,9 pour calculer cet intervalle. On cherche la plus petite valeur de succès (G) pour laquelle la probabilité d'obtenir un résultat inférieur est inférieure à 0,025, ce qui est 348. De même, on cherche la plus petite valeur pour laquelle la probabilité d'obtenir un résultat inférieur est inférieure à 0,975, soit 371. Donc, on a 95% de chance que le pourcentage de patients guéris se situe entre 348/400 et 371/400, ce qui correspond à 87% et 92,5%. Ainsi, 87,5% se situe dans l'intervalle de confiance et ne remet pas en cause l'hypothèse de l'efficacité du médicament à un seuil de 95%.
