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Signe et Inéquations

Dans cet exercice, on apprend à déterminer la position relative de deux courbes en étudiant le signe de la différence f(x) - g(x). En factorisant cette expression, on peut facilement déterminer son signe à partir d'un tableau de signes. Pour cela, on détermine d'abord le signe de racine de x - 1, qui est positif pour x>1 et négatif pour x<1. Ensuite, on peut construire le tableau de signes de f(x) - g(x) et déterminer quelle courbe est au-dessus de l'autre selon le signe obtenu.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment déterminer la position relative de deux courbes. Alors pour rappel, quand on cherche à déterminer la position relative de deux courbes, en fait, ça veut dire qu'on cherche à savoir quelle courbe va être au-dessus de l'autre. Et donc la méthode pour déterminer la position relative de deux courbes de fonction, donc f et g, c'est d'étudier le signe de la différence f de x moins g de x. Si cette différence est positive, c'est la courbe de f qui sera au-dessus, et si cette différence est négative, c'est la courbe de g qui sera au-dessus. Donc voilà, on va étudier en fait le signe de f de x moins g de x. Et donc, autre méthode pour étudier le signe d'une expression, eh bien on factorise l'expression et on fait son tableau de signes, tout simplement. Donc ici, on a f de x qui vaut x et g de x qui vaut racine de x, parce qu'ici, les courbes qu'on cherche, c'est les courbes de ces expressions-là. Donc voilà, on a f de x qui vaut x, g de x qui vaut racine de x, donc en fait, on va faire f de x moins g de x, donc ça nous fait x moins racine de x. Eh bien là, l'étape d'après, c'est de factoriser. Alors, il n'y a pas de facteur commun, sauf si on fait apparaître quelque chose. Donc là, il y a une astuce qu'il va falloir savoir faire, c'est de décrire x comme racine de x fois racine de x. Donc si on écrit x comme racine de x fois racine de x, en fait, on va pouvoir factoriser, parce que x moins racine de x, ça devient racine de x fois racine de x moins racine de x, d'accord? x, je l'ai juste remplacé par ça. Et donc maintenant, on a un facteur commun qui apparaît. On a racine de x, racine de x. Donc je factorise par racine de x, et donc ça nous fait racine de x fois racine de x moins 1. Alors maintenant, on a notre expression factorisée, on va en déterminer le signe. Donc on sait que dans notre tableau de signes, on va avoir une ligne pour racine de x, ça c'est toujours positif, donc voilà, on n'aura pas grand chose à faire, et on aura une ligne pour racine de x moins 1. Alors ça, racine de x moins 1, ce n'est pas une expression affine comme on a l'habitude de voir, donc là, on va essayer de déterminer son signe avant de le mettre dans notre tableau de signes. Donc ce qu'on va faire, c'est on va déterminer le signe de racine de x moins 1. Donc on va voir quand est-ce que c'est positif. Donc on résout l'équation tout simplement, racine de x moins 1, positif, donc ça nous fait racine de x supérieur ou égal à 1, et donc racine de x supérieur ou égal à 1, c'est x supérieur ou égal à 1. D'accord? Pour passer de là à là, on applique la fonction x², qui est croissante sur les nombres positifs, donc ça ne change pas le sens de l'inégalité. Donc racine de x moins 1 et supérieur ou égal à 0, donc est positif quand x est plus grand que 1, et donc on fait la même chose pour négatif, c'est négatif du coup quand x est plus petit que 1. Bon ben on a toutes les infos, on peut maintenant faire le tableau de signes de f de x moins g de x, et donc on a les bornes de l'ensemble de définition 0 plus infini, d'accord? Parce qu'on a de la racine de x, la fonction g c'est racine de x, donc c'est forcément défini sur les nombres positifs, donc 0 plus l'infini, les bornes de mon ensemble de définition, une ligne pour racine de x qui s'annule en 0, donc là bon ben on n'a pas besoin de faire grand chose, et une ligne pour racine de x moins 1 qui s'annule en 1, et ensuite le signe, donc on a dit racine de x c'est toujours positif, donc on met plus plus, et racine de x moins 1, donc ça on l'a déterminé juste avant, donc ça va être négatif ici quand x est plus petit que 1, donc plus petit que 1 ça veut dire entre 0 et 1 on est négatif, et quand x est plus grand que 1 on est positif, donc quand x est plus grand que 1 on est positif, et ensuite la dernière ligne c'est le produit des deux, on fait la règle des signes, plus fois moins ça fait moins, et plus fois plus ça fait plus. Donc on a maintenant le signe de f2x moins g2x, et on se rappelle quand f2x moins g2x est positif c'est la courbe de f qui est au-dessus, et quand f2x moins g2x est négatif c'est la courbe de g qui est au-dessus. Donc on met ça en place, donc ça veut dire sur 0,1, c2 est au-dessus de c1, donc là c'est négatif, c2 c'était la courbe de g, donc vu que c'est négatif c'est la courbe de g qui est au-dessus de la courbe de f, donc c2 est au-dessus de c1, et ici c'est positif, donc la courbe de f est au-dessus de la courbe de g, donc c2 est en dessous de c1.

Apprenez à résoudre les inéquations contenant des puissances supérieures à 1 en suivant ces étapes : mettre tous les termes d'un côté pour avoir 0 de l'autre côté, factoriser l'équation, entrer les valeurs de x pour lesquelles les facteurs s'annulent dans un tableau de signes, déterminer les signes de chaque facteur, puis identifier les valeurs de x pour lesquelles l'expression est positive. En appliquant cette méthode à l'inéquation x² + 4x ≥ -3x, nous obtenons que x appartient à l'intervalle moins l'infini moins 7, union 0 plus l'infini.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment résoudre une inéquation faisant apparaître un terme au carré. Alors la méthode pour faire ça, c'est la suivante. Donc pour résoudre une inégalité avec une puissance de x supérieure à 1, ce qu'on fait, c'est qu'on commence par tout mettre du même côté pour avoir 0 de l'autre côté. Ensuite, on factorise l'expression qu'on a trouvée, donc là où il n'y a pas de 0 justement. On fait le tableau de signes de l'expression qu'on a factorisé, et ensuite on identifie la partie du tableau de signes qui nous intéresse. Donc par exemple, si on a passé notre expression à gauche, et on trouve que notre expression est inférieure ou égale à 0, en fait, après le tableau de signes, ce qu'on va chercher, c'est quand est-ce que c'est inférieur ou égal à 0, donc ça veut dire quand est-ce que c'est négatif. Et ça, on va pouvoir le trouver dans le tableau de signes, et donc on s'intéressera aux antécédents, donc vers les valeurs de x qui vérifient que notre expression est négative, donc qui vérifie le truc de départ. Donc là, on va voir ce qui se passe dans notre situation. Donc, on fait la première étape, on passe tout de l'autre côté. Donc là, on a x² plus 4x supérieur ou égal à moins 3x, ça c'est le truc de départ. Quand on passe le moins 3x de l'autre côté, ça nous fait plus 3x, donc avec le 4x, ça nous fait x² plus 7x supérieur ou égal à 0. Donc maintenant qu'on a ça, il faut factoriser. Bon, là, très clairement, on va factoriser par x, parce qu'il y a un facteur commun, donc ça nous fait x facteur de x plus 7 supérieur ou égal à 0. Maintenant que c'est factorisé, on peut faire le tableau de signes. Donc pour faire le tableau de signes, il faut commencer par voir quand est-ce que chacun des facteurs s'annule. Donc là, x s'annule quand x vaut 0, et x plus 7 s'annule quand x vaut moins 7. Et ensuite, on va rentrer ça dans notre tableau de signes. Alors, petit rappel, je vais détailler un peu comment on trouve ce tableau de signes. Donc là, on commence par mettre les bornes de notre ensemble de définition. Ici, c'est R, c'est tous les nombres, donc c'est moins l'infini plus l'infini. Ensuite, on met les valeurs pour lesquelles chacun des facteurs s'annule. Donc ici, ça s'annule en moins 7, on le met ici, et ici en 0, on le met là. Alors bien sûr, il faut les mettre dans l'ordre croissant, c'est pour ça que j'ai commencé par moins 7 et ensuite 0. On trace des traits ici, et on met sur chaque ligne, on commence par mettre les 0. Donc ça veut dire que la première ligne, c'est un facteur, c'est le premier facteur, s'annule quand x vaut 0, ça vaut 0. Et la deuxième ligne, quand x vaut moins 7, x plus 7 vaut 0. Ensuite, la dernière ligne, bon ben là, on a un produit de facteurs, on n'a pas un quotient, donc à chaque fois qu'il y a un des facteurs qui s'annule, le produit va s'annuler, on met des 0. Ensuite, pour remplir les signes, donc les moins et les plus qu'on voit, ben là, il faut faire le signe, donc ici, ce sera le signe d'une expression affine. Donc on rappelle, une expression affine, c'est si le coefficient directeur est positif, on va avoir moins 0 plus, si le coefficient directeur est négatif, on va avoir plus 0 moins. Donc ici, x, c'est une expression affine, bon, ça ne saute pas aux yeux, mais c'est mx plus p, avec p qui vaut 0, m qui vaut 1, donc ça va être négatif, ça vaut 0 et c'est positif, donc on met moins moins 0 plus, x plus 7, expression affine, avec m qui vaut 1, p qui vaut 7, donc pareil, négatif, 0 plus, donc négatif, 0 plus, et pour la dernière ligne, on fait la règle des signes, donc ça veut dire, moins fois moins, ça fait plus, moins fois plus, ça fait moins, et plus fois plus, ça fait plus. Donc ici, moins fois moins, ça fait plus, moins fois plus, ça fait moins, et plus fois plus, ça fait plus. Donc maintenant qu'on a notre tableau de signes, on va voir comment l'exploiter. Donc ce qu'on voulait, c'était notre expression qui est supérieure ou égale à 0, donc supérieure ou égale à 0, ça veut dire positif, donc on va regarder quand est-ce que notre expression, ici, quand est-ce qu'elle est positive, donc elle est positive ici, et ici. Donc maintenant, ça c'est quand notre expression est positive, nous ce qui nous intéresse, c'est les valeurs de x, qui vérifient que cette expression est positive, donc là, en fait, c'est toutes les valeurs des antécédents, donc c'est entre moins l'infini et moins 7, et entre 0 et plus l'infini. Bon, il n'y a plus qu'à faire une phrase de conclusion, on a la réponse sous les yeux. Donc inégalité de départ, donc ça veut dire x² plus 4x supérieure ou égale à moins 3x, ça équivaut en fait à dire que x appartient à l'intervalle moins l'infini moins 7, union 0 plus l'infini. Donc soit on dit que cette inéquation équivaut à x appartient à cette union d'intervalle, soit on dit tout simplement que cette union d'intervalle est la solution de cette inéquation, voilà, ça dépend comment on tourne la phrase. Mais globalement, c'est ça la réponse.

Cet exercice consiste à dresser le tableau de signe d'une fonction à partir de son expression factorisée. Il est important de factoriser avant de faire le tableau de signe. On cherche ensuite les valeurs pour lesquelles chaque facteur s'annule (x=0 et x=4/3 dans cet exemple), puis on remplit les signes en se rappelant la règle de signes pour les expressions affines et en utilisant la règle de signes pour le produit final.

Ça veut dire que dans cet exercice, on va voir comment dresser le tableau de signe d'une fonction dont on connaît l'expression. Alors pour commencer, on nous donne un petit indice, on nous dit après avoir factorisé. Pour un tableau de signe, de toute façon, il faut toujours factoriser. Donc même si on ne nous le demande pas, en fait il faut savoir qu'avant de faire un tableau de signe, il faut avoir une expression factorisée. Donc là, on nous le demande, on factorise. Donc on voit très clairement, 3x²-4x, il y a un facteur commun qui est x. Donc on le met devant, et du coup ça nous fait x facteur de 3x-4. Donc maintenant qu'on a factorisé, il faut chercher quand est-ce que chaque facteur s'annule. Donc le premier c'est x, il s'annule quand x vaut 0. Et le deuxième, 3x-4, pour trouver quand est-ce qu'il s'annule, on résout l'équation 3x-4 égale à 0. Donc ça nous fait 3x égale 4, et donc x égale 4 tiers. Donc le deuxième facteur s'annule pour x égale 4 tiers. Donc maintenant qu'on a ça, on va dresser le tableau de signe. Alors là, je vais détailler un peu comment on trouve ce tableau de signe. Donc pour commencer, on met les bandes de l'ensemble de définition. Donc ici on nous dit que la fonction est définie sur R, donc c'est moins l'infini, plus l'infini. Ensuite, on met les valeurs ici pour lesquelles chaque facteur s'annule. Alors dans l'ordre croissant les valeurs, donc 0 en premier, 4 tiers en deuxième. Ensuite, dans chacune des lignes, on va mettre chaque facteur. Donc là on a un facteur qui est x, qu'on met ici. Un deuxième facteur qui est 3x-4, qu'on met ici. Et à chaque fois qu'un facteur s'annule, on va tracer un trait en dessous. Dans chaque ligne, là où il y a le trait, on met un 0, pour dire que x s'annule ici en 0. Par contre, ici il ne s'annule pas, il y a un trait quand même mais il ne s'annule pas. Mais 3x-4 s'annule en 4 tiers, donc on met un 0 ici. Et pour le produit, la dernière ligne c'est le produit de tout. Donc ici on n'a que deux facteurs, donc il y a le produit des deux facteurs. On met des 0 à chaque fois qu'il y a au moins un des facteurs qui s'annule, parce qu'on aura 0 fois quelque chose. Et ensuite, maintenant on va remplir les signes. Donc pour remplir les signes, ici on a des expressions affines. Donc pour trouver le signe d'une expression affine, on se rappelle, quand le coefficient directeur est positif, on a moins 0, plus. Quand le coefficient directeur est négatif, on a plus 0, moins. Donc ici, x c'est une expression affine avec m qui vaut 1 et p qui vaut 0. D'accord? C'est 1 fois x plus 0. Donc le coefficient directeur est positif, donc on va avoir moins 0, plus. Donc moins 0, plus. Ensuite, pour la deuxième, 3x-4, pardon, c'est une expression affine. Le coefficient directeur c'est 3, qui est positif lui aussi, donc on va avoir moins 0, plus. Donc ici on a moins 0, plus. Et pour la dernière ligne, on remplit les signes en faisant la règle de signes. Donc ça veut dire moins fois moins qui fait plus, moins fois plus qui fait moins, et plus fois plus qui fait plus. Donc ici, moins fois moins qui fait plus, moins fois plus qui fait moins, et plus fois plus qui fait plus. Donc voilà, on a adressé le tableau de signes de la fonction f définie par 3x²-4x.

Dans cet exercice, il est expliqué comment déterminer le signe d'une fonction. Pour ce faire, il faut d'abord résoudre les équations pour trouver les valeurs de x pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s'annulent. Puis, on crée un tableau de signes en mettant sur chaque ligne les valeurs de x pertinentes, les facteurs de l'expression et le bilan du produit ou quotient. Les bornes de l'ensemble de définition sont également indiquées. Les zéros sont placés à l'endroit où chaque ligne s'annule. Les lignes affiliées à une expression affine, c'est-à-dire celle ax+b, prennent le signe positif avant zéro et le signe négatif après. Une double barre est utilisée pour les valeurs interdites. Ensuite, on utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne du tableau. À partir de ce tableau, on peut déduire le signe de la fonction.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment déterminer le signe d'une fonction. Alors déjà, cette fonction nous est donnée comme un quotient. Et donc la méthode pour déterminer le signe d'un produit de facteur ou d'un quotient, c'est tout simplement de faire un tableau de signes. Donc pour faire un tableau de signes, ce qu'il faut commencer par faire, c'est déterminer les valeurs de x pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s'annulent. Ou, dans le cas d'un produit de facteur, déterminer quand est-ce que chaque facteur s'annule. Donc c'est ce qu'on va commencer par faire. Donc on a "-5x±3", et "-7x±6", à savoir quand est-ce qu'ils s'annulent. Donc on commence par le premier. Donc c'est tout simplement, on résout de l'équation "-5x±3", donc on passe le 3 de l'autre côté, ça fait "-5x±3", on divise ensuite par "-5", donc ça nous fait x égale, du coup, 3 sur 5, après simplification. Ensuite, le deuxième, donc, qui est "-7x±6", donc on fait pareil, on résout l'équation "-7x±6", et donc ça nous fait x égale 6 sur 7. Donc maintenant qu'on a ces valeurs-là, on va faire le tableau de signes de notre fonction. Donc un tableau de signes, ça se présente comme ça. Donc la première ligne, on met les valeurs de x qui vont être pertinentes, on va voir après c'est lesquelles. Ensuite, une ligne par facteur, ou dans le cas d'une fraction, une ligne par facteur au numérateur et facteur au dénominateur. Donc ici, on a une ligne pour "-5x±3", une ligne pour "-7x±6", et enfin, à la fin, une ligne bilan avec le produit de l'expression, ou alors le quotient de l'expression dont on souhaite déterminer le signe. Une fois qu'on a ça, on va mettre sur les côtés les bornes de l'ensemble de définition. Donc là, l'ensemble de définition, c'est r privé de 6 sur 7, donc les bornes, c'est "-infini plus l'infini". Les valeurs qu'on va mettre, c'est les valeurs qui s'annulent, donc c'est 3 sur 5 et 6 sur 7, et à chaque fois, on trace un trait en dessous de chaque valeur tout le long du tableau, et ça, ça va nous créer des cases ici qu'on va remplir avec des signes. Avant de remplir ces cases, on va mettre quand est-ce que chaque ligne va s'annuler. Donc on va mettre des zéros à chaque fois que ça s'annule, donc là, "-5x±3", on a vu que ça s'annulait en x égale à 3 sur 5, et 7x-6 s'annule en x égale à 6 sur 7, ça c'est ce qu'on a fait juste avant. Ensuite, la dernière ligne, alors la dernière ligne va s'annuler quand x égale à 3 sur 5, parce qu'on va avoir zéro au numérateur, donc au-dessus de la fraction. Par contre, en 6 sur 7, on aura zéro au dénominateur, en dessous de la fraction, et ça, c'est pas possible. Alors du coup, ce qu'on va faire, c'est qu'on met une double barre, une double barre pour dire que pour cette ligne-là, la valeur 6 sur 7 est une valeur interdite. On dit que c'est une valeur interdite parce qu'en fait, on ne peut pas diviser par zéro. Donc dans la deuxième ligne, 7x-6, quand x vaut 6 sur 7, ça vaut zéro, parce que bon, là, 7x-6 peut valoir zéro. Par contre, dans la dernière ligne, le 7x-6, étant donné que là, il est en dessous de ma fraction, donc au dénominateur, mais il ne peut plus valoir zéro, parce que ça reviendrait à diviser par zéro. Donc on met une double barre, et donc ça veut dire que c'est une valeur interdite. Maintenant qu'on a ça, on va remplir les lignes de chacun de nos facteurs avec les signes qui correspondent. Donc on observe que là, ici et là, on a des expressions affines de type mx plus p, et on se rappelle que si une fonction affine a un coefficient directeur négatif, alors on va avoir le signe qui va être positif, nul et négatif, et si le coefficient directeur est positif, on a les signes négatif, nul et positif. Donc on remplit ça en conséquence avec le signe d'une fonction affine. Donc là, "-5x plus 3", le coefficient directeur, c'est "-5", négatif. Donc avant zéro, on sait que ce sera positif, et là, après zéro, ici, ce sera négatif. Donc on met des moins. Pour la deuxième ligne, "-7x moins 6", pareil, expression affine, le coefficient directeur, c'est "-7", positif. Donc on sait qu'avant zéro, ça veut dire que sur ces deux cases-là, on va être négatif, et après zéro, ici, on va être positif. Donc on remplit tout simplement cette ligne-là. Et ensuite, la dernière ligne, on fait un peu le bilan en utilisant la règle des signes. Ça veut dire, plus multiplié par plus devient plus, plus multiplié par moins devient moins, et moins multiplié par plus devient plus. Donc là, on a plus multiplié par moins, ça devient moins, moins multiplié par moins, ça devient plus, et moins multiplié par plus, ça devient moins. Donc voilà, on a fait le tableau de signes de notre fonction. Donc, généralement, ça suffit à répondre à une question où on nous demande de déterminer le signe. Alors, si jamais vous voulez rédiger, on pourrait rédiger en disant que f2x, qui est justement cette expression-là, f2x est négative sur moins infini, 3 sur 5, positive sur l'intervalle 3 sur 5, 6 sur 7, et négative sur l'intervalle 6 sur 7 plus l'infini. Bon, ça c'est si on veut faire des fréquences.

Comparer x et sa racine

Tableau de signes avec du x²

Factorisation et tableau de signes

Tableau de signes pour un quotient