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Fonctions

Signe et Inéquations

Cet exercice consiste à dresser le tableau de signe d'une fonction à partir de son expression factorisée. Il est important de factoriser avant de faire le tableau de signe. On cherche ensuite les valeurs pour lesquelles chaque facteur s'annule (x=0 et x=4/3 dans cet exemple), puis on remplit les signes en se rappelant la règle de signes pour les expressions affines et en utilisant la règle de signes pour le produit final.

Ça veut dire que dans cet exercice, on va voir comment dresser le tableau de signe d'une fonction dont on connaît l'expression. Alors pour commencer, on nous donne un petit indice, on nous dit après avoir factorisé. Pour un tableau de signe, de toute façon, il faut toujours factoriser. Donc même si on ne nous le demande pas, en fait il faut savoir qu'avant de faire un tableau de signe, il faut avoir une expression factorisée. Donc là, on nous le demande, on factorise. Donc on voit très clairement, 3x²-4x, il y a un facteur commun qui est x. Donc on le met devant, et du coup ça nous fait x facteur de 3x-4. Donc maintenant qu'on a factorisé, il faut chercher quand est-ce que chaque facteur s'annule. Donc le premier c'est x, il s'annule quand x vaut 0. Et le deuxième, 3x-4, pour trouver quand est-ce qu'il s'annule, on résout l'équation 3x-4 égale à 0. Donc ça nous fait 3x égale 4, et donc x égale 4 tiers. Donc le deuxième facteur s'annule pour x égale 4 tiers. Donc maintenant qu'on a ça, on va dresser le tableau de signe. Alors là, je vais détailler un peu comment on trouve ce tableau de signe. Donc pour commencer, on met les bandes de l'ensemble de définition. Donc ici on nous dit que la fonction est définie sur R, donc c'est moins l'infini, plus l'infini. Ensuite, on met les valeurs ici pour lesquelles chaque facteur s'annule. Alors dans l'ordre croissant les valeurs, donc 0 en premier, 4 tiers en deuxième. Ensuite, dans chacune des lignes, on va mettre chaque facteur. Donc là on a un facteur qui est x, qu'on met ici. Un deuxième facteur qui est 3x-4, qu'on met ici. Et à chaque fois qu'un facteur s'annule, on va tracer un trait en dessous. Dans chaque ligne, là où il y a le trait, on met un 0, pour dire que x s'annule ici en 0. Par contre, ici il ne s'annule pas, il y a un trait quand même mais il ne s'annule pas. Mais 3x-4 s'annule en 4 tiers, donc on met un 0 ici. Et pour le produit, la dernière ligne c'est le produit de tout. Donc ici on n'a que deux facteurs, donc il y a le produit des deux facteurs. On met des 0 à chaque fois qu'il y a au moins un des facteurs qui s'annule, parce qu'on aura 0 fois quelque chose. Et ensuite, maintenant on va remplir les signes. Donc pour remplir les signes, ici on a des expressions affines. Donc pour trouver le signe d'une expression affine, on se rappelle, quand le coefficient directeur est positif, on a moins 0, plus. Quand le coefficient directeur est négatif, on a plus 0, moins. Donc ici, x c'est une expression affine avec m qui vaut 1 et p qui vaut 0. D'accord? C'est 1 fois x plus 0. Donc le coefficient directeur est positif, donc on va avoir moins 0, plus. Donc moins 0, plus. Ensuite, pour la deuxième, 3x-4, pardon, c'est une expression affine. Le coefficient directeur c'est 3, qui est positif lui aussi, donc on va avoir moins 0, plus. Donc ici on a moins 0, plus. Et pour la dernière ligne, on remplit les signes en faisant la règle de signes. Donc ça veut dire moins fois moins qui fait plus, moins fois plus qui fait moins, et plus fois plus qui fait plus. Donc ici, moins fois moins qui fait plus, moins fois plus qui fait moins, et plus fois plus qui fait plus. Donc voilà, on a adressé le tableau de signes de la fonction f définie par 3x²-4x.

Factorisation et tableau de signes

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