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Signe et Inéquations

Dans cet exercice, on apprend à déterminer la position relative de deux courbes en étudiant le signe de la différence f(x) - g(x). En factorisant cette expression, on peut facilement déterminer son signe à partir d'un tableau de signes. Pour cela, on détermine d'abord le signe de racine de x - 1, qui est positif pour x>1 et négatif pour x<1. Ensuite, on peut construire le tableau de signes de f(x) - g(x) et déterminer quelle courbe est au-dessus de l'autre selon le signe obtenu.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment déterminer la position relative de deux courbes. Alors pour rappel, quand on cherche à déterminer la position relative de deux courbes, en fait, ça veut dire qu'on cherche à savoir quelle courbe va être au-dessus de l'autre. Et donc la méthode pour déterminer la position relative de deux courbes de fonction, donc f et g, c'est d'étudier le signe de la différence f de x moins g de x. Si cette différence est positive, c'est la courbe de f qui sera au-dessus, et si cette différence est négative, c'est la courbe de g qui sera au-dessus. Donc voilà, on va étudier en fait le signe de f de x moins g de x. Et donc, autre méthode pour étudier le signe d'une expression, eh bien on factorise l'expression et on fait son tableau de signes, tout simplement. Donc ici, on a f de x qui vaut x et g de x qui vaut racine de x, parce qu'ici, les courbes qu'on cherche, c'est les courbes de ces expressions-là. Donc voilà, on a f de x qui vaut x, g de x qui vaut racine de x, donc en fait, on va faire f de x moins g de x, donc ça nous fait x moins racine de x. Eh bien là, l'étape d'après, c'est de factoriser. Alors, il n'y a pas de facteur commun, sauf si on fait apparaître quelque chose. Donc là, il y a une astuce qu'il va falloir savoir faire, c'est de décrire x comme racine de x fois racine de x. Donc si on écrit x comme racine de x fois racine de x, en fait, on va pouvoir factoriser, parce que x moins racine de x, ça devient racine de x fois racine de x moins racine de x, d'accord? x, je l'ai juste remplacé par ça. Et donc maintenant, on a un facteur commun qui apparaît. On a racine de x, racine de x. Donc je factorise par racine de x, et donc ça nous fait racine de x fois racine de x moins 1. Alors maintenant, on a notre expression factorisée, on va en déterminer le signe. Donc on sait que dans notre tableau de signes, on va avoir une ligne pour racine de x, ça c'est toujours positif, donc voilà, on n'aura pas grand chose à faire, et on aura une ligne pour racine de x moins 1. Alors ça, racine de x moins 1, ce n'est pas une expression affine comme on a l'habitude de voir, donc là, on va essayer de déterminer son signe avant de le mettre dans notre tableau de signes. Donc ce qu'on va faire, c'est on va déterminer le signe de racine de x moins 1. Donc on va voir quand est-ce que c'est positif. Donc on résout l'équation tout simplement, racine de x moins 1, positif, donc ça nous fait racine de x supérieur ou égal à 1, et donc racine de x supérieur ou égal à 1, c'est x supérieur ou égal à 1. D'accord? Pour passer de là à là, on applique la fonction x², qui est croissante sur les nombres positifs, donc ça ne change pas le sens de l'inégalité. Donc racine de x moins 1 et supérieur ou égal à 0, donc est positif quand x est plus grand que 1, et donc on fait la même chose pour négatif, c'est négatif du coup quand x est plus petit que 1. Bon ben on a toutes les infos, on peut maintenant faire le tableau de signes de f de x moins g de x, et donc on a les bornes de l'ensemble de définition 0 plus infini, d'accord? Parce qu'on a de la racine de x, la fonction g c'est racine de x, donc c'est forcément défini sur les nombres positifs, donc 0 plus l'infini, les bornes de mon ensemble de définition, une ligne pour racine de x qui s'annule en 0, donc là bon ben on n'a pas besoin de faire grand chose, et une ligne pour racine de x moins 1 qui s'annule en 1, et ensuite le signe, donc on a dit racine de x c'est toujours positif, donc on met plus plus, et racine de x moins 1, donc ça on l'a déterminé juste avant, donc ça va être négatif ici quand x est plus petit que 1, donc plus petit que 1 ça veut dire entre 0 et 1 on est négatif, et quand x est plus grand que 1 on est positif, donc quand x est plus grand que 1 on est positif, et ensuite la dernière ligne c'est le produit des deux, on fait la règle des signes, plus fois moins ça fait moins, et plus fois plus ça fait plus. Donc on a maintenant le signe de f2x moins g2x, et on se rappelle quand f2x moins g2x est positif c'est la courbe de f qui est au-dessus, et quand f2x moins g2x est négatif c'est la courbe de g qui est au-dessus. Donc on met ça en place, donc ça veut dire sur 0,1, c2 est au-dessus de c1, donc là c'est négatif, c2 c'était la courbe de g, donc vu que c'est négatif c'est la courbe de g qui est au-dessus de la courbe de f, donc c2 est au-dessus de c1, et ici c'est positif, donc la courbe de f est au-dessus de la courbe de g, donc c2 est en dessous de c1.

Comparer x et sa racine

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