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Signe et Inéquations

Apprenez à résoudre les inéquations contenant des puissances supérieures à 1 en suivant ces étapes : mettre tous les termes d'un côté pour avoir 0 de l'autre côté, factoriser l'équation, entrer les valeurs de x pour lesquelles les facteurs s'annulent dans un tableau de signes, déterminer les signes de chaque facteur, puis identifier les valeurs de x pour lesquelles l'expression est positive. En appliquant cette méthode à l'inéquation x² + 4x ≥ -3x, nous obtenons que x appartient à l'intervalle moins l'infini moins 7, union 0 plus l'infini.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment résoudre une inéquation faisant apparaître un terme au carré. Alors la méthode pour faire ça, c'est la suivante. Donc pour résoudre une inégalité avec une puissance de x supérieure à 1, ce qu'on fait, c'est qu'on commence par tout mettre du même côté pour avoir 0 de l'autre côté. Ensuite, on factorise l'expression qu'on a trouvée, donc là où il n'y a pas de 0 justement. On fait le tableau de signes de l'expression qu'on a factorisé, et ensuite on identifie la partie du tableau de signes qui nous intéresse. Donc par exemple, si on a passé notre expression à gauche, et on trouve que notre expression est inférieure ou égale à 0, en fait, après le tableau de signes, ce qu'on va chercher, c'est quand est-ce que c'est inférieur ou égal à 0, donc ça veut dire quand est-ce que c'est négatif. Et ça, on va pouvoir le trouver dans le tableau de signes, et donc on s'intéressera aux antécédents, donc vers les valeurs de x qui vérifient que notre expression est négative, donc qui vérifie le truc de départ. Donc là, on va voir ce qui se passe dans notre situation. Donc, on fait la première étape, on passe tout de l'autre côté. Donc là, on a x² plus 4x supérieur ou égal à moins 3x, ça c'est le truc de départ. Quand on passe le moins 3x de l'autre côté, ça nous fait plus 3x, donc avec le 4x, ça nous fait x² plus 7x supérieur ou égal à 0. Donc maintenant qu'on a ça, il faut factoriser. Bon, là, très clairement, on va factoriser par x, parce qu'il y a un facteur commun, donc ça nous fait x facteur de x plus 7 supérieur ou égal à 0. Maintenant que c'est factorisé, on peut faire le tableau de signes. Donc pour faire le tableau de signes, il faut commencer par voir quand est-ce que chacun des facteurs s'annule. Donc là, x s'annule quand x vaut 0, et x plus 7 s'annule quand x vaut moins 7. Et ensuite, on va rentrer ça dans notre tableau de signes. Alors, petit rappel, je vais détailler un peu comment on trouve ce tableau de signes. Donc là, on commence par mettre les bornes de notre ensemble de définition. Ici, c'est R, c'est tous les nombres, donc c'est moins l'infini plus l'infini. Ensuite, on met les valeurs pour lesquelles chacun des facteurs s'annule. Donc ici, ça s'annule en moins 7, on le met ici, et ici en 0, on le met là. Alors bien sûr, il faut les mettre dans l'ordre croissant, c'est pour ça que j'ai commencé par moins 7 et ensuite 0. On trace des traits ici, et on met sur chaque ligne, on commence par mettre les 0. Donc ça veut dire que la première ligne, c'est un facteur, c'est le premier facteur, s'annule quand x vaut 0, ça vaut 0. Et la deuxième ligne, quand x vaut moins 7, x plus 7 vaut 0. Ensuite, la dernière ligne, bon ben là, on a un produit de facteurs, on n'a pas un quotient, donc à chaque fois qu'il y a un des facteurs qui s'annule, le produit va s'annuler, on met des 0. Ensuite, pour remplir les signes, donc les moins et les plus qu'on voit, ben là, il faut faire le signe, donc ici, ce sera le signe d'une expression affine. Donc on rappelle, une expression affine, c'est si le coefficient directeur est positif, on va avoir moins 0 plus, si le coefficient directeur est négatif, on va avoir plus 0 moins. Donc ici, x, c'est une expression affine, bon, ça ne saute pas aux yeux, mais c'est mx plus p, avec p qui vaut 0, m qui vaut 1, donc ça va être négatif, ça vaut 0 et c'est positif, donc on met moins moins 0 plus, x plus 7, expression affine, avec m qui vaut 1, p qui vaut 7, donc pareil, négatif, 0 plus, donc négatif, 0 plus, et pour la dernière ligne, on fait la règle des signes, donc ça veut dire, moins fois moins, ça fait plus, moins fois plus, ça fait moins, et plus fois plus, ça fait plus. Donc ici, moins fois moins, ça fait plus, moins fois plus, ça fait moins, et plus fois plus, ça fait plus. Donc maintenant qu'on a notre tableau de signes, on va voir comment l'exploiter. Donc ce qu'on voulait, c'était notre expression qui est supérieure ou égale à 0, donc supérieure ou égale à 0, ça veut dire positif, donc on va regarder quand est-ce que notre expression, ici, quand est-ce qu'elle est positive, donc elle est positive ici, et ici. Donc maintenant, ça c'est quand notre expression est positive, nous ce qui nous intéresse, c'est les valeurs de x, qui vérifient que cette expression est positive, donc là, en fait, c'est toutes les valeurs des antécédents, donc c'est entre moins l'infini et moins 7, et entre 0 et plus l'infini. Bon, il n'y a plus qu'à faire une phrase de conclusion, on a la réponse sous les yeux. Donc inégalité de départ, donc ça veut dire x² plus 4x supérieure ou égale à moins 3x, ça équivaut en fait à dire que x appartient à l'intervalle moins l'infini moins 7, union 0 plus l'infini. Donc soit on dit que cette inéquation équivaut à x appartient à cette union d'intervalle, soit on dit tout simplement que cette union d'intervalle est la solution de cette inéquation, voilà, ça dépend comment on tourne la phrase. Mais globalement, c'est ça la réponse.

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