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Maths

Fonctions

Signe et Inéquations

Dans cet exercice, il est expliqué comment déterminer le signe d'une fonction. Pour ce faire, il faut d'abord résoudre les équations pour trouver les valeurs de x pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s'annulent. Puis, on crée un tableau de signes en mettant sur chaque ligne les valeurs de x pertinentes, les facteurs de l'expression et le bilan du produit ou quotient. Les bornes de l'ensemble de définition sont également indiquées. Les zéros sont placés à l'endroit où chaque ligne s'annule. Les lignes affiliées à une expression affine, c'est-à-dire celle ax+b, prennent le signe positif avant zéro et le signe négatif après. Une double barre est utilisée pour les valeurs interdites. Ensuite, on utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne du tableau. À partir de ce tableau, on peut déduire le signe de la fonction.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment déterminer le signe d'une fonction. Alors déjà, cette fonction nous est donnée comme un quotient. Et donc la méthode pour déterminer le signe d'un produit de facteur ou d'un quotient, c'est tout simplement de faire un tableau de signes. Donc pour faire un tableau de signes, ce qu'il faut commencer par faire, c'est déterminer les valeurs de x pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s'annulent. Ou, dans le cas d'un produit de facteur, déterminer quand est-ce que chaque facteur s'annule. Donc c'est ce qu'on va commencer par faire. Donc on a "-5x±3", et "-7x±6", à savoir quand est-ce qu'ils s'annulent. Donc on commence par le premier. Donc c'est tout simplement, on résout de l'équation "-5x±3", donc on passe le 3 de l'autre côté, ça fait "-5x±3", on divise ensuite par "-5", donc ça nous fait x égale, du coup, 3 sur 5, après simplification. Ensuite, le deuxième, donc, qui est "-7x±6", donc on fait pareil, on résout l'équation "-7x±6", et donc ça nous fait x égale 6 sur 7. Donc maintenant qu'on a ces valeurs-là, on va faire le tableau de signes de notre fonction. Donc un tableau de signes, ça se présente comme ça. Donc la première ligne, on met les valeurs de x qui vont être pertinentes, on va voir après c'est lesquelles. Ensuite, une ligne par facteur, ou dans le cas d'une fraction, une ligne par facteur au numérateur et facteur au dénominateur. Donc ici, on a une ligne pour "-5x±3", une ligne pour "-7x±6", et enfin, à la fin, une ligne bilan avec le produit de l'expression, ou alors le quotient de l'expression dont on souhaite déterminer le signe. Une fois qu'on a ça, on va mettre sur les côtés les bornes de l'ensemble de définition. Donc là, l'ensemble de définition, c'est r privé de 6 sur 7, donc les bornes, c'est "-infini plus l'infini". Les valeurs qu'on va mettre, c'est les valeurs qui s'annulent, donc c'est 3 sur 5 et 6 sur 7, et à chaque fois, on trace un trait en dessous de chaque valeur tout le long du tableau, et ça, ça va nous créer des cases ici qu'on va remplir avec des signes. Avant de remplir ces cases, on va mettre quand est-ce que chaque ligne va s'annuler. Donc on va mettre des zéros à chaque fois que ça s'annule, donc là, "-5x±3", on a vu que ça s'annulait en x égale à 3 sur 5, et 7x-6 s'annule en x égale à 6 sur 7, ça c'est ce qu'on a fait juste avant. Ensuite, la dernière ligne, alors la dernière ligne va s'annuler quand x égale à 3 sur 5, parce qu'on va avoir zéro au numérateur, donc au-dessus de la fraction. Par contre, en 6 sur 7, on aura zéro au dénominateur, en dessous de la fraction, et ça, c'est pas possible. Alors du coup, ce qu'on va faire, c'est qu'on met une double barre, une double barre pour dire que pour cette ligne-là, la valeur 6 sur 7 est une valeur interdite. On dit que c'est une valeur interdite parce qu'en fait, on ne peut pas diviser par zéro. Donc dans la deuxième ligne, 7x-6, quand x vaut 6 sur 7, ça vaut zéro, parce que bon, là, 7x-6 peut valoir zéro. Par contre, dans la dernière ligne, le 7x-6, étant donné que là, il est en dessous de ma fraction, donc au dénominateur, mais il ne peut plus valoir zéro, parce que ça reviendrait à diviser par zéro. Donc on met une double barre, et donc ça veut dire que c'est une valeur interdite. Maintenant qu'on a ça, on va remplir les lignes de chacun de nos facteurs avec les signes qui correspondent. Donc on observe que là, ici et là, on a des expressions affines de type mx plus p, et on se rappelle que si une fonction affine a un coefficient directeur négatif, alors on va avoir le signe qui va être positif, nul et négatif, et si le coefficient directeur est positif, on a les signes négatif, nul et positif. Donc on remplit ça en conséquence avec le signe d'une fonction affine. Donc là, "-5x plus 3", le coefficient directeur, c'est "-5", négatif. Donc avant zéro, on sait que ce sera positif, et là, après zéro, ici, ce sera négatif. Donc on met des moins. Pour la deuxième ligne, "-7x moins 6", pareil, expression affine, le coefficient directeur, c'est "-7", positif. Donc on sait qu'avant zéro, ça veut dire que sur ces deux cases-là, on va être négatif, et après zéro, ici, on va être positif. Donc on remplit tout simplement cette ligne-là. Et ensuite, la dernière ligne, on fait un peu le bilan en utilisant la règle des signes. Ça veut dire, plus multiplié par plus devient plus, plus multiplié par moins devient moins, et moins multiplié par plus devient plus. Donc là, on a plus multiplié par moins, ça devient moins, moins multiplié par moins, ça devient plus, et moins multiplié par plus, ça devient moins. Donc voilà, on a fait le tableau de signes de notre fonction. Donc, généralement, ça suffit à répondre à une question où on nous demande de déterminer le signe. Alors, si jamais vous voulez rédiger, on pourrait rédiger en disant que f2x, qui est justement cette expression-là, f2x est négative sur moins infini, 3 sur 5, positive sur l'intervalle 3 sur 5, 6 sur 7, et négative sur l'intervalle 6 sur 7 plus l'infini. Bon, ça c'est si on veut faire des fréquences.

Tableau de signes pour un quotient

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