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Probabilités Conditionnelles

Dans cet exercice, nous avons une entreprise qui a deux rendez-vous, un avec chaque fournisseur. La probabilité de signer un contrat avec le premier fournisseur est de 0,7, tandis que la probabilité de signer un contrat avec le deuxième fournisseur est de 0,4. Les deux événements sont considérés comme indépendants, ce qui signifie que nous pouvons signer avec les deux fournisseurs si nous le souhaitons. 

L'événement "aucun contrat" correspond au fait de ne pas signer de contrat avec les deux fournisseurs. Nous le notons S1 bar inter S2 bar, ce qui signifie que nous ne signons pas de contrat avec le premier fournisseur et le deuxième fournisseur à la fois. La probabilité de cet événement est égale à la probabilité de ne pas signer de contrat avec le premier fournisseur (1 - 0,7) multipliée par la probabilité de ne pas signer de contrat avec le deuxième fournisseur (1 - 0,4), soit 0,3 x 0,6 = 0,18.

L'événement "au moins un contrat" correspond au fait de signer au moins un contrat avec l'un des deux fournisseurs. C'est le complémentaire de l'événement "aucun contrat". La probabilité de cet événement est donc égale à 1 (100%) moins la probabilité de l'événement "aucun contrat", soit 1 - 0,18 = 0,82. 

En conclusion, il y a 82% de chances que l'entreprise signe au moins un contrat avec l'un des deux fournisseurs.

Un exercice un peu plus complet, avec un peu de contexte. On a une entreprise qui a deux rendez-vous, avec deux fournisseurs, un rendez-vous chacun. On va faire signer un contrat au premier fournisseur, uniquement avec une proba 0.7. On fait signer au deuxième fournisseur un contrat avec une proba de 0.4. On suppose les deux événements comme indépendants, ça veut dire qu'apparemment on peut s'offrir d'en avoir deux. Ce n'est pas parce qu'on fait le premier qu'on ne fait pas le deuxième, on ne sait pas, tout est possible. Quelle est la probabilité de l'événement ? Le vendeur ne fait signer aucun contrat. Ou bien l'événement, le vendeur fait signer au moins un contrat. Bon, si on n'est pas sûr, on clarifie la situation. Première chose, je traduis en événement tout ce qu'on m'a dit dans l'énoncé. J'appelle S1 signé avec le fournisseur 1. J'appelle S2 l'événement signé avec le fournisseur 2. Et je peux traduire maintenant, ça c'est des événements un petit peu, comment dire, fondamentaux. Et je peux traduire mes événements un peu plus complexes comme ça. Donc l'événement aucun contrat, ça sera ni avec le 1 ni avec le 2. Donc S1 bar, pas signé, et S2 bar. Donc pas signé à la fois avec lui et avec lui. Au moins un contrat, en fait ça, c'est le complémentaire du truc d'avant. Parce qu'avant j'ai dit signé avec aucun, et là je dis signé avec au moins un des deux. Je me rends compte que les deux sont complémentaires. Donc c'est ça, c'est le complémentaire du précédent. Ça va être assez facile comme ça d'utiliser une proba. Donc j'ai la proba de aucun contrat, qui est la proba de S1 bar inter S2 bar. Je sais par mon cours que si les événements S1 et S2 sont indépendants, ce qui est le cas, c'est donné dans l'énoncé, je sais que ça c'est équivalent au fait que S1 bar et S2 bar sont indépendants. Donc j'utilise la propriété de deux événements indépendants et je dis que proba de S1 bar inter S2 bar c'est égal au produit des deux probas. Ensuite ce sont des complémentaires, donc je peux remplacer chacune des probas par un moins la proba de l'événement de base. Donc au lieu de P de S1 bar, je calcule un moins P de S1, pareil ici. J'ai les deux, c'est 0,7, ça c'est 0,7, ça c'est 0,4. Ça fait donc 0,3 x 0,6. 0,18 pour la proba d'une signée avec aucun. Et comme j'ai compris que au moins un c'était le complémentaire, c'est super facile de calculer la proba. P de au moins un c'est un moins la proba de aucun que j'ai calculé. C'est donc 0,82. 82% de chances d'en signer au moins un des deux. Voilà, ça comprend d'ailleurs le cas où je signe les deux. Juste par ailleurs, c'est soit 1, soit 2, soit le premier, soit le deuxième, soit le 1 et le 2. Voilà tout ce qui est compris dans le dernier. J'espère que c'était clair, dites-moi sinon s'il y a besoin. J'aime bien comme ça définir un peu, toujours poser une première... garder ça comme discipline, poser souvent une première étape de clarté avec on définit les événements, voire dessiner un arbre si nécessaire des fois avant de commencer à résoudre pour de bon. A la prochaine !

Indépendance : calculatoire

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