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Équations Différentielles

Aujourd'hui, nous allons apprendre à résoudre des équations différentielles d'ordre 1 avec un second membre, c'est-à-dire des équations du type y' = y + b, où b est un terme supplémentaire. Voici la méthode à suivre :

1. Chercher une solution particuilière constante : Tout d'abord, on cherche une solution constante de l'équation. Dans notre exemple, on cherche une solution de la forme y(x) = c, où c est une constante à déterminer.

2. Résoudre l'équation homogène : Ensuite, on résout l'équation homogène, c'est-à-dire l'équation y' = y. Dans notre exemple, on oublie le terme b et on résout l'équation y' = -y. Les solutions de cette équation sont de la forme y(x) = Ae^(-x), où A est une constante réelle.

3. Trouver la solution générale : En ajoutant la solution constante (trouvée à l'étape 1) à la solution de l'équation homogène (trouvée à l'étape 2), on obtient la solution générale de l'équation différentielle. Dans notre exemple, toutes les solutions sont de la forme y(x) = Ae^(-x) + c, où A est une constante réelle et c est la solution particulière constante.

Si nous avons besoin d'une condition particulière pour déterminer la valeur de la constante A, par exemple y(alpha) = beta, cela nous permettra de trouver une solution unique qui vérifie cette condition particulière.

Vous pouvez poser vos questions dans la description.

Salut à tous, on va s'intéresser aujourd'hui à la méthode pour résoudre des équations différentielles d'ordre 1 avec un second membre, autrement dit les équations du type y' égale a y plus b, donc avec un b supplémentaire. La méthode est assez simple, c'est d'abord qu'on cherche une solution dite particulière, constante. Je vais essayer de résoudre et trouver une solution constante, une solution particulière, et ensuite je vais résoudre l'équation homogène, on l'appelle l'équation homogène, c'est les solutions à l'équation y' égale a y. Je fais la somme de ces deux solutions et voilà, tout simplement. Donc on va s'intéresser à cet exemple là, donc là j'ai une équation différentielle du type y' égale moins y plus 3, c'est de la forme y' égale a y plus b avec a égale moins 1 et b égale 3. Alors moi je l'ai fait dans l'autre ordre, mais peu importe, il n'y a pas d'ordre, on résout d'abord l'équation homogène. L'équation homogène c'est, j'oublie le b, donc c'est y' égale moins y. Là je me dis que les solutions sont de la forme y de x égale grand a e de moins x, avec a, une constante multiplicative réelle quelconque. Et ensuite je cherche ma solution particulière constante, voilà c'est ça qui est important. Si elle est constante, ça veut dire que sa dérivée est nulle, et donc je l'injecte et elle doit être solution, phi c'est une solution particulière, elle doit être solution de phi prime égale moins phi plus 3. Alors phi prime vaut 0, c'est à dire que 0 égale moins phi plus 3, j'en ai eu que phi égale 3. Et ensuite je fais la somme de ces deux solutions. Donc finalement toutes les solutions sont de la forme y de x égale a e de moins x plus 3, c'est une constante multiplicative que je ne connais pas. Il y a toujours une constante multiplicative, si jamais pour pouvoir trouver sa valeur j'ai besoin d'une condition particulière, comme on a parfois le cas du type y de alpha égale beta, ça va me permettre, il y aura une unique solution qui vérifiera cette condition particulière. Voilà comment on fait pour résoudre une équation différentielle du type y prime égale a y plus b. Si vous avez des questions n'hésitez pas dans la description.

Équation y'=ay+b

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