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Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Équations Différentielles

Dans ce cours, on étudie l'équation différentielle et on cherche une solution particulière. Pour cela, on utilise la forme donnée par les exemples précédents. On tente d'abord avec A fois cos x, mais cela ne fonctionne pas car on a également du sin x dans l'équation. On comprend alors qu'il faut combiner à la fois du cos x et du sin x pour obtenir une solution. On identifie les termes en cos et en sin, qui sont respectivement 0 et -1/5 cos x + 2/5 sin x. Ensuite, on applique la même méthode que pour les polynômes pour déterminer l'ensemble des solutions. On ajoute simplement E2y' - y = cos x, que l'on réécrit comme y' - 1/2 y = 1/2 cos x, pour obtenir la bonne forme. La solution générale est donc donnée par y(x) = e^(1/2x) * K + g(x), où K est une constante et g(x) est la solution sans second membre. C'est la fonction générale obtenue à la fin du cours.

Là on vous dit qu'on considère l'équation de différentiel machin. Déterminez une solution particulière, ils sont sympas et ils vous donnent la forme. Parce que moi avec le conseil que j'ai donné tout à l'heure, vous pourrez vous dire que c'est un cos, ce truc là. Je vais tenter A fois cos. Si je tente A fois cos, euh... Si je tente A fois cos, ça va bloquer donc je peux tenter, on peut regarder si je tente... si y égale A fois cos x. Le problème c'est que ça, ça ne va jamais être égal à cos x parce qu'il y a du sin ici. On se rend compte qu'en mettant que du cos, vu que je le déris ça peut apparaître du sin, c'est un peu relou. Donc la meilleure technique, c'est de faire ce qu'ils vous disent dans la question 1. C'est à dire mettre un peu de cos et un peu de sin. Si on fait ça, ça marche. On va le faire tout de suite. Pas trop compliqué, ce qu'il faut faire maintenant c'est la même chose que pour les polynômes tout à l'heure. Exactement la même chose. On identifie les termes en cos, les termes en sin. Donc là c'est 0. Il y a 0 sin, les termes ici. Moins un cinquième cos x, plus deux cinquièmes de sin x. Tout bêtement. La suite ensuite, en dédiant l'ensemble des solutions, ce n'est pas compliqué, il faut rajouter uniquement. On a E 2y prime moins y égale cos x. Je vais le réécrire, y prime moins 1 demi de y égale 1 demi de cos x. Juste pour avoir accès à la bonne forme comme dans le cours. Et je peux dire y de x égale la solution générique. Elle, ce n'est pas très compliqué, c'est exponentielle. 1 demi de x fois grand K. C'est la solution de tout ce qui est ici égale à 0. Celle que j'ai appelée sans second membre. Celle en gros où il n'y a aucune complication. Plus g de x. C'est à dire, cette fonction là. Voilà la fonction générale qu'on obtient à la fin. Une somme de la solution particulière et de la solution sans second membre. Basique. Toujours un peu le même principe pour les équations différentielles. Dans les exos plus difficiles, c'est juste la recherche de l'équation, de la solution particulière qui est un peu plus compliquée.

Solution particulière : trigonométrie

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