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Solution particulière plus difficile
Le cours concerne la résolution d'une équation différentielle. L'objectif est de trouver une solution particulière en utilisant une approche expérimentale.
L'équation donnée est y'-2y = xe^2x. Pour trouver une solution particulière, on commence par chercher une fonction qui ressemble à xe^2x. En analysant l'expression, on identifie que cela ressemble à x fois e^2x.
On tente alors une fonction de la forme ax + b. Cependant, il se peut que cela ne fonctionne pas, donc on envisage une autre approche en utilisant une fonction quadratique g2x = ax^2 + bx + c.
On remarque que si on choisit une fonction g de cette forme, la dérivée g'-2g sera toujours égale à une constante fois e^2x, mais jamais à x fois e^2x. Donc, cela n'est pas possible.
Ceci est déduit de l'expérience passée. On sait que lorsque l'équation égale à 0 a pour solution e^2x, il faut généralement monter d'un degré supplémentaire pour trouver une fonction solution. Cette connaissance provient de l'expérience.
Si vous rencontrez une telle situation où vous avez essayé quelque chose mais ça bloque, ne paniquez pas. L'étape suivante consiste à réessayer avec une fonction de degré 2. On pose cette fois-ci g2x = ax^2 + bx + c.
En analysant la fonction, on voit que le terme 2ax^2 disparaît. Ensuite, certains x vont rester, tandis que d'autres x^2 vont disparaître. Les 2bx s'annulent également, il reste donc 2ax.
On observe que c n'a aucune condition, ce qui signifie que peu importe la valeur de c (que ce soit 1, 3, 28000), cela ne changera pas grand-chose. On choisit donc c = 0 et on trouve notre solution, qui est plus ou moins du degré 2 fois l'exponentielle de 2x.
Ainsi, la solution générale est y2x = k * e^2x + g2x, 1/2 * x^2 * e^2x, où k est un réel quelconque qui peut varier en fonction des conditions initiales.
