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Les fondements de la continuité

Ce cours explique le lien entre dérivabilité et continuité d'une fonction. On y apprend que si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point, mais que le contraire n'est pas vrai. Une démonstration est également donnée pour illustrer ce lien. En résumé, l'ensemble des points où une fonction est dérivable est contenu dans l'ensemble des points où elle est continue, qui est lui-même contenu dans l'ensemble des points où elle est définie. Deux exemples importants de fonctions continues mais non dérivables sont la racine carrée en 0 et la valeur absolue.

Petite vidéo pour expliquer le lien entre dérivabilité et continuité. C'est assez simple, si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point. Le contraire n'est pas vrai. Il y a une petite démonstration à faire pour ça, donc je vous la montre tout de suite. Alors, on a la démonstration suivante. Si f est une fonction dérivable en un point A, alors elle est continue en A. Appelons taux de x le taux d'accroissement de f en A. Donc on appelle taux de x f de x moins f de A sur x moins A. Très simple. F étant dérivable en A, qu'est-ce qu'on peut dire ? On peut dire que la limite du taux d'accroissement quand x tend vers A égale f prime de A. C'est la définition de la dérivabilité d'une fonction f en un point A. Parfait. On peut donc jouer avec cette expression et écrire que x moins A fois taux de x égale f de x moins f de A. Maintenant, c'est simple, on va isoler f de x. On obtient f de x égale f de A plus x moins A fois taux de x. On va donc utiliser notre hypothèse et passer le tout à la limite. La limite à gauche de f de x quand x tend vers A sera égale à la limite quand x tend vers A de toute cette quantité-là. Et donc, assez simplement, on va pouvoir écrire que comme x moins A tend vers 0 quand x tend vers A, parce que ça fait A moins A égal 0, et comme taux de x, on a vu que ça tendait vers f prime de A qui est une quantité finie, cet ensemble-là tend vers 0. Donc le tout tend vers f de A. On a donc limite de f de x quand x tend vers A. Donc ce terme-là, on prend la limite, ça devient limite de tout ça, f de A plus 0 fois f prime de A égale f de A. Donc on a bien la définition de la continuité, limite de f de x quand x tend vers A égale f de A. C'est ce qu'on voulait démontrer. Je reviens sur mes slides, une petite remarque. Comme on a vu que la définition, être défini dans un point n'implique pas être continu, par exemple quand je prends sin x sur x et que je mets en 0, sur R étoile et qu'en 0 je mets une valeur quelconque qui n'est pas 1 par exemple, là la fonction est bien définie partout mais elle n'est pas continue parce que je dois sauter avec mon stylo. De la même manière, continuité n'implique pas dérivabilité. Comme on a pu voir des exemples intéressants de non-dérivabilité quand vous avez fait la dérivation, c'est-à-dire par exemple la valeur absolue. La valeur absolue, je ne lève pas le stylo, elle est bien continue mais elle n'est pas dérivable car on a deux pentes distinctes à gauche et à droite. Et donc si on résume un peu mes trois ensembles un peu moches, un espèce de goutte d'eau, l'ensemble de définition df est le plus grand, l'ensemble des réels tel que la fonction est continue est plus petit, il est donc contenu dedans, c'est l'espèce de bleu moyennement clair ici, et l'ensemble des points où la fonction est dérivable est lui-même contenu dans cet ensemble. Donc le nombre des x tel que la fonction est dérivable est plus petit que le nombre des x où la fonction est continue, qui est plus petit que l'ensemble des x où la fonction est définie tout court. Et donc voilà, deux exemples à retenir de fonction continue non dérivable, racine carré, très important, très classique. Racine carré en 0, c'est une non dérivabilité de type pente de la tangente plus l'infini, on appelle ça une demi-tangente, donc ce n'est pas une limite du type d'accroissement qui est finie, donc pas dérivable, ou valeur absolue, qui elle, est un cas où on a deux valeurs possibles, deux valeurs distinctes pour le même point de pente. Voilà, c'est tout ce que j'avais à dire là-dessus. Je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo, n'hésitez pas à poser des questions dans le forum encore une fois. Et voilà, à toute !

Continuité vs dérivabilité

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