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Les fondements de la continuité

Une application importante de l'étude de la continuité est l'étude des suites. Le théorème du point fixe est un résultat fondamental qui s'applique à une fonction continue f sur un intervalle I et à une suite un définie de manière récurrente. Si la suite un converge vers l, qui appartient à I, alors f(l) = l. Ce théorème repose sur la continuité de la fonction f. La démonstration utilise la définition de la continuité et montre que f(un) converge également vers f(l), ce qui implique que l = f(l). Il est important de noter que ce résultat ne s'applique que si la fonction est continue. Ensuite, le cours rappelle que les convergences de suites définies de manière récurrente peuvent avoir des comportements différents en fonction de la forme de la fonction f. On peut observer une convergence en escalier ou une convergence en escargot, en fonction des variations de la fonction et de la suite.

Une importante application de l'étude de la continuité, c'est l'étude des suites. Pour cela, on a un théorème très fondamental au programme, au terminal, c'est le théorème du point fixe. Pour une fonction f définie continue sur un intervalle i et une suite un, définie de telle manière que pour toute n, on a un qui appartient à I, donc on reste dans le même intervalle, et un plus un qui est égal à f de un, donc c'est une suite qu'on définit par récurrence. On définit la construction de la suite d'un terme à l'autre avec une relation de récurrence. Si un converge vers l, l dans I, alors on a la relation f de l égale l. C'est un résultat très très intuitif dans le sens que quand vous voyez ce truc-là, vous vous dites forcément que je prends un quand n tend à plus l'infini, ça tend vers l, ça on l'a dit ici, donc le terme de gauche tend bien vers l, et donc le terme de droite f de un tend, et vu que un tend vers l, ça devient f de l. Mais rappelez-vous que pour que la limite de f de x, quand x va au bon endroit, donc x ici c'est un, quand un tend vers l, pour que la limite de f de x aille vers la valeur f de a, il nous faut la continuité, c'est la définition de la continuité. Si vous voulez, la un joue le rôle du x dans la définition de la continuité qui est limite de f de x, quand x tend vers a égale f de a. Là c'est la même chose, c'est limite de f de un quand un tend vers l égale f de l. C'est très intuitif quand on l'écrit, on se dit que ça devrait être bon tout le temps, mais si la fonction n'est pas continue, ça ne marchera pas. C'est pour ça qu'on a ce théorème. Démontrons-le, c'est au programme. Alors je vous ai remis le théorème ici, un converge. Si un converge vers l, on peut écrire que un tend vers l et un plus un tend vers l. Comme f est continue, on peut écrire que limite de f de x quand x tend vers l égale f de l. En effet, f est continue sur I et l appartient à I. C'est donc juste l'application de la définition de la continuité pour un point de l'intervalle où f est continue. Dans ce cas-là, quand je combine ces deux choses-là, c'est en fait, comme je disais en introduction, un qui va jouer le rôle de x. Par composition, si vous voulez, je peux dire que limite de f de un quand n tend vers plus infini, c'est-à-dire que si n tend vers plus infini, ça voudra dire que un va bien tendre vers l. Donc le un tend vers l, c'est parfait. Limite de f de un va être égale à f de l. Merci la continuité, c'est parce que c'est continue que je peux écrire ça. Ensuite, comme j'ai cette relation-là, un plus un tend vers l et limite de f de un égale f de l, mais f de un, c'est un plus un, je peux écrire tout simplement que l est égale à f de l par unicité de la limite. Le fait que d'un côté ça tende vers l, de l'autre côté, j'ai montré que ça tend vers f de l, comme il y a une seule limite pour toutes suites données, ça veut dire que je suis en train de parler de la même chose. Donc l égale f de l, fin de la démonstration. Je vous avais rajouté en bonus un petit rappel de choses que vous avez dû voir rapidement en première. Ensuite, pour les fonctions f bien continue, donc si on prend une fonction f continue mais croissante ici en bleu, et croissante de type concave, et une suite par exemple ici décroissante convex, on aura des comportements de convergence qui ne sont pas les mêmes. Si vous prenez un petit u0, vous calculez que u1 aura la valeur ici, etc. Je ne vais pas vous faire le rappel complet, mais pour vous remettre un peu ces images à l'esprit, vous aurez, avec les suites définies de manière récurrente, c'est-à-dire du type un plus un égal f de un, deux types de convergence possibles, qu'on appelle une en escalier, parce qu'on voit qu'on va s'approcher de plus en plus du point d'intersection entre ma fonction et la droite y égal x, et une convergence qu'on appelle en escargot, qui est également une espèce d'approche étape par étape de ce point d'intersection entre fonction et y égal x, mais cette fois-ci en escargot parce qu'on va tourner autour. Voilà, c'était un petit rappel, ça conclut ma vidéo, et je vous dis à la prochaine.

Continuité et suites : Théorème du point fixe

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