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TVI : LE théorème
Le théorème des valeurs intermédiaires est un concept fondamental en mathématiques, notamment pour l'étude des fonctions et la résolution d'équations. Ce théorème stipule que si f' est une fonction continue sur un intervalle [a, b] et si k est un nombre réel compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet au moins une solution c dans l'intervalle [a, b].
Pour illustrer ce théorème, considérons une courbe représentant une fonction cubique. L'intervalle [a, b] est défini comme la portion de la courbe entre deux points spécifiques. En traçant la fonction, nous voyons que celle-ci fluctue entre ces deux points de manière continue, sans lever le stylo.
En conséquence, si nous traçons une droite horizontale pour une valeur k entre f(a) et f(b), il est inévitable que la courbe de la fonction croise cette droite quelque part entre les points a et b. Ainsi, l'équation f(x) = k a toujours au moins une solution.
Dans certaines situations, où la fonction est strictement croissante ou décroissante, il n'y aura qu'un seul point d'intersection entre la courbe et une droite horizontale. Cela est dû à l'absence de fluctuations dans la direction de la courbe.
Il est important de souligner que l'utilisation de ce théorème repose sur la continuité de la fonction. Ainsi, il convient de mentionner explicitement le théorème des valeurs intermédiaires lors de sa justification.
En conclusion, le théorème des valeurs intermédiaires, également appelé théorème de la bijection dans les cas de stricte croissance ou décroissance, permet de garantir l'existence d'au moins une solution à une équation donnée sur un intervalle spécifié.
