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Les fondements de la continuité

Le cours aborde la notion de continuité d'une fonction et propose des exercices pratiques pour illustrer cette notion. Le premier exercice consiste à déterminer si une fonction donnée est continue en utilisant la méthode de la quantité conjuguée. La deuxième méthode utilisée est celle de la dérivabilité pour déterminer si la fonction est continue. La question suivante demande quelle valeur de m permet à la fonction d'être continue en 0, en utilisant la définition fondamentale de la continuité. La réponse est que m doit être égal à 0.

J'ai préparé quelques petits exos sur la continuité. Le premier est assez simple, assez classique. Il faut savoir faire ça, ça va rappeler un peu la définition de ce que c'est être continu. Et il est bien parce qu'il y a plusieurs choses qui sont possibles pour faire les questions. Donc on va regarder. Donc on vous dit, soit une fonction définie par f2x égale quelque chose si x est différent de 0, f2z égale m. Tout de suite, ça, quand vous avez une accolade avec un point isolé qui vaut une certaine valeur, ça sent la question de continuité. Il faut vous attendre à ce qu'on vous dise, ok, il y a ce petit point qui se balade. En gros, est-ce qu'on aura une situation comme ça, avec une fonction et un petit point qui se balade trop haut, qui fait qu'elle n'est pas continue ? Ou est-ce que le petit point aura le bon goût d'être exactement là pour avoir une fonction qui est continue et pour laquelle on n'a pas besoin de lever le stylo ? Voilà le genre d'exo qu'on va faire. Pour vous montrer que la fonction peut s'écrire sous la forme quelque chose, qu'est-ce qu'on voit ? On voit la même racine que là avec un plus, au dénominateur. Quantité conjuguée, direct. Donc là, pas d'hésitation. Voilà, on l'a fait 14 millions de fois. On commence à se dire que c'est assez simple. Ça donne 1 moins... Et tout ça, c'est égal à 1 moins x2 moins 1, ça fait moins x². J'obtiens ce truc-là. En général, si on demande une limite comme ça, il faut y penser. Quantité conjuguée, c'est une bonne méthode. Donc la question 1 est vraiment sympa, elle vous donne la solution. Donc méthode 1, celle voulue par l'énoncé. La quantité conjuguée. Tout bêtement. Donc il y avait une forme indéterminée. Du racine de 1 moins 1, il y a le 0 sur 0. Grâce à la quantité conjuguée, ça disparaît. On obtient ça. Méthode 2, qui est beaucoup moins pratique et élégante ici, mais c'est bien d'y penser. Parce que c'est une méthode un peu de niveau supérieur, peut-être à juste la factorisation et la quantité conjuguée. Méthode 2, c'est reconnaître un taux d'accroissement. 1 moins racine de x2 plus 1 sur x. C'est en fait... g de 0. Parce que g de 0, ça vaut 1. Moins g de x sur x. C'est moins g de x moins g de 0. Le tout sur x. Et ça, c'est un taux d'accroissement. Par définition de la dérivabilité d'une fonction, je sais que ce taux d'accroissement va tendre vers g' de 0 pour peu que la fonction soit dérivable en 0. La fonction, c'est ça. C'est une fonction racine. La fonction racine, elle est toujours dérivable, sauf au point où la quantité sous la racine vaut 0. Parce qu'en fait, ça, c'est toujours supérieur à 0. x² plus 1 est toujours supérieur à 0, donc la fonction racine ne va jamais prendre la valeur 0, donc elle est dérivable partout. Donc g de x est dérivable partout, et je peux dire que ça, par définition de la dérivabilité, ça tend vers g' de 0. Donc là, c'est faux. C'est moins g' de 0 converge vers moins g' de 0. Et donc ça, c'est racine de x² plus 1 prime. Ça fait u prime sur deux racines de u, donc ça fait... Et donc ça vaut 0, et on retrouve la même limite. b, quelle valeur peut-il donner à m pour que la fonction f soit continue en 0 ? Une fonction est continue si la limite de cette fonction dans le point d'approche est égale à la valeur de la fonction. On pourra dire, c'est la question b, c'est la définition fondamentale de la continuité. Or, ça on connaît, limite de f de x quand x tend vers 0, on l'a dit, ça vaut 0. f de 0, ça vaut m. Il faut m égal 0.

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