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Analyse

Les fondements de la continuité

La fonction f(x) = 2/(e^x + e^(-x)) représente une somme d'exponentielles positives strictes, ce qui exclut la possibilité d'obtenir une valeur égale à zéro. En regardant graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x) = x, il est clair qu'il n'y a qu'une seule solution unique. Pour montrer que la fonction g(x) = f(x) - x est décroissante, nous commençons par dériver la fonction f(x) et simplifier. La dérivée de f(x) est -2(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))^2. Après des calculs plus avancés, nous obtenons que la dérivée de g(x) est égale à -2(e^(2x) + 1)(e^(-2x) - 1)/(e^(2x) + e^(-2x))^2, ce qui est toujours négatif. Par conséquent, nous pouvons conclure que g(x) est décroissante. En utilisant le Théorème des Valeurs Intermédiaires, nous pouvons affirmer qu'il existe un unique nombre alpha tel que f(alpha) = alpha. Ainsi, l'équation f(x) = x admet une seule solution.

Alors exercice. Soit f la fonction définie sur R par f de x égale 2 sur e de x plus e de moins x. Premier réflexe. Dans mon cerveau il y a des trucs qui tiltent. J'ai une fraction. Est-ce que ça, ça ne va pas valoir 0 de temps en temps et donc me poser des problèmes de définition ? C'est une somme d'exponential. L'exponential est positif strict. Je peux écrire ça, positif strict tout le temps. Ça ne va jamais être égal à 0. Je suis confiant. Rélecturer graphiquement le nombre de solutions. Donc il manque un s ici. Le nombre de solutions sur R de l'équation f de x égale x. C'est parti. Graphiquement, je vais tracer la fonction. 2 sur e de x plus e de moins x, c'est ça, égale x. Voilà ma solution unique. Petit 2. On pose la fonction. Comme d'hab, quand on veut montrer une égalité comme ça, on met tout à gauche égale à 0. On donne g de x égale f de x moins x. Calculer les limites en plus infini et moins infini. Donc 2 sur e de x plus e de moins x tend vers 0. Parce qu'il y a ce terme qui tend vers plus infini. Donc 2 sur l'infini, ça fait 0, plus. Quand x tend vers moins l'infini, égale. La limite, ça, ça fait 0. La limite de moins x. Donc quand il tend vers plus l'infini, ça fait moins l'infini. En moins l'infini, un peu la même chose. e de x tend vers 0. e de moins x tend vers plus l'infini. Ce qui fait que 2 sur e de x plus e de moins x tend également vers 0 plus. Voilà, j'ai pas grand chose à rajouter. En gros, dans le cas plus et moins l'infini, il y a toujours un des deux termes qui tend vers plus l'infini ici. L'autre qui tend vers 0. Donc le tout tend vers 0. Et c'est le moins x qui va déterminer le destin de g de x en plus et moins l'infini. Ça, c'est la partie assez simple. Maintenant, on va regarder la partie petit b, qui n'est pas simple du tout. Petit b, on vous dit montrer que la fonction g est décroissante. Premier réflexe, est-ce que j'aurais pas g qui pourrait se définir comme somme de fonction décroissante ? Ça pourrait être intéressant. C'est-à-dire que là, j'ai moins x qui est décroissante. Si j'arrive à montrer que f de x est décroissante, c'est super. En gros, ça serait bien une somme de fonction décroissante et c'est réglé. Or, on a déjà vu l'intuition graphique. On a vu que f de x n'était pas décroissante, mais qu'elle était croissante puis décroissante. Donc c'est compliqué. J'ai eu le réflexe. Ce réflexe de vérifier si c'est pas une somme de fonction décroissante me permet juste de faire en une phrase toute une étude de fonctions qui m'aurait coûté sinon un calcul de dérivés, etc. Ça marche pas. Malheureusement, je n'ai pas de fonction décroissante qui s'additionne, donc je dois faire un calcul de dérivés. Mais celui-ci est particulièrement, je trouve, peu simple et pas mal pour s'entraîner. Égal, alors dérivés de f d'abord. Dérivés de f, c'est la dérivée de ce truc-là, qui est un genre de 1 sur u. 1 sur u', pour rappel, c'est –u' sur u². Donc c'est parti. Je mets le 2 devant, puis je fais –u'. u' c'est donc le truc qui est en dessous, prime. Donc la dérivée du truc qui est en dessous. Dérivée de ça, c'est e de x plus –e de –x. C'est parti. e de x moins e de –x. J'ai bien le signe « moins » ici. Ça c'est le signe « moins » de –u'. Ok. –x qui se dérive en –1. Et c'est parti pour mettre tout au même dénominateur. Il faut maintenant que je vérifie, parce que le signe de ce truc-là n'est peut-être pas évident. En gros, le signe de ce truc-là va dépendre de pas mal de choses. Si x est positif, c'est assez simple. Si x est négatif, ça se complique. Donc il faut qu'on mette tout au même dénominateur ici. Donc je propose de mettre –1 sur –x. –e de x plus –e de –x au carré en facteur. C'est facteur 2. Et maintenant, le plus compliqué. Si je fais ça, il faut que je fasse maintenant « plus ». Si je mets le –1 en facteur, il faut que je mette un « plus » là-dedans, en gros. « Plus », je veux, en gros, quand je multiplie ça par ce qu'elle a, retrouver 1. Donc je suis obligé de mettre. Donc je suis obligé de mettre le 2x. Je suis obligé, c'est une mise au même... C'est un peu comme si j'avais une mise au même dénominateur, en gros. Parce que c'est exactement ça. « Plus » ce machin-là. Donc si je redécompose, ça fait bien –1 fois 2 fois ça, je retrouve ça. Et –1 fois ça sur ça, ça fait bien –1. Donc là, on est bon. Ça, c'est la partie –1. Disons qu'il faut garder... Quand je dis qu'il était dur, il n'était pas si compliqué ce calcul, mais il faut bien garder la tête forte. Parce que là, ça se complique un peu. Je me retrouve avec quoi ? 2e2x – 2e-x. « Plus » ce carré-là. Donc je le développe. e2x, identité remarquable. « Plus » 2 fois e2x fois e-x, ça fait 2 fois e0. 2 fois e0, ça fera 2. « Plus » e2 – x² – 2x. Là, il faut être malin. Donc ce qu'il se passe, c'est qu'en fait ça, c'est juste 2. J'ai du e2x. J'ai du e2x. J'ai du e-x. J'ai du e-2x. Il faut repérer qu'en gros, ces trucs-là vont aller ensemble. Alors que ce truc-là et ce truc-là vont aller ensemble. Et je me rends compte qu'en fait, ça, c'est ça au carré. Et que là, j'ai une identité remarquable qui se dessine. J'ai un genre de e2x² plus 2 fois e2x. Et ça me rappelle, ben, x plus 1 au carré. Je vais pouvoir dire, ben attends, ça c'est e2x², 2e2x. Il me manque « plus » à plus 1 en fait. Et le plus 1, je vais le prendre ici. Donc l'astuce finale, c'est d'écrire plus 1, plus 1. Et donc, de recomposer. Oups, il y a un « moins » qui a sauté. Faut faire attention à ça. Je vais recomposer des identités remarquables. Et j'obtiens e2x plus 2e2x plus 1. Bon là, la question est terminée. Ça, je reconnais e2x plus 1 au carré. Et ça, c'est e2-x moins 1 au carré. Ça, c'est positif plus du positif divisé par du positif. Ça fait du négatif. Et j'ai démontré que, quel que soit x, j'ai pris de x, c'était négatif. La fonction g est décroissante. C'est la question la plus difficile. La fonction g étant décroissante, je vais pouvoir faire un petit tableau assez simple pour la fonction g. On a calculé ses limites, qui valaient plus l'infini et moins l'infini. C'est cohérent. G continue. 0 appartient à R, c'est-à-dire que 0 est bien compris entre moins l'infini et plus l'infini. G décroissante strictement. Le TVI bijectif me dit qu'il existe un unique alpha. Donc, il n'y a qu'un seul alpha tel que g2x vaut 0. Un unique alpha tel que f2alpha est égal à alpha. On a donc, nombre de solutions, une seule.

TVI et calculs costauds !

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