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Continuité sur un segment, TVI et bijection réciproque

Dans ce cours, Paul aborde le lien entre continuité, bijection et la fonction f(x) = 1 + e^x. Il montre que f est une bijection de R sur son image en utilisant le théorème de la bijection. Pour cela, il prouve que f est continue et strictement croissante en utilisant la dérivée de f. Il conclut donc que f réalise une bijection de R sur son image. Ensuite, il détermine le domaine d'arrivée de f et la bijection réciproque en résolvant l'équation f(x) = y. Il trouve que le domaine d'arrivée est R+* et que la bijection réciproque de f est f^-1 (y) = ln(e^y - 1) pour tout y dans R+*.

Salut c'est Paul, et on se retrouve pour une nouvelle vidéo où on va aborder le lien entre continuité, bijection et ce genre de choses. Donc l'exercice consiste en deux questions sur la fonction de R dans R définie par f de x égale le gain de 1 plus exponentielle de x, qui est 1 plus exponentielle de x, 1 c'est toujours strictement positif, donc cette fonction est bien définie. Et il faut montrer que f réalise une bijection de R sur son image. Donc pour ça on va utiliser le théorème de la bijection, et pour le théorème de la bijection on doit avoir deux choses, que f soit continue, donc là c'est bien le cas, et que f soit strictement croissante, donc pour ça on va utiliser la dérivée de f. Donc on a x qui donne 1 plus exponentielle de x dérivable et strictement positif sur R, enfin le gain de x est dérivable sur R plus étoile, donc f est dérivable sur R par composition, et on a sa dérivée ici qui est composée d'exponentielles ici et là, et elle est strictement positive de manière évidente. Donc f est strictement croissante et continue, sont sous le domaine des définitions. Et donc là on a la stricte croissance et la continuité, parce qu'on a la dérivabilité donc continuité. Et donc d'après le théorème de la bijection, f réalise une bijection de R dans son image. Maintenant qu'on sait que f réalise une bijection, on va déterminer le domaine d'arrivée et la bijection réciproque. Donc une astuce c'est qu'on le fait les deux en même temps en raisonnant par équivalence. Donc il faut un peu intuiter ce que ça va être f de R pour ça. F de R, là, logarithm de x quand x tend vers moins l'infini, exponentielle de x tend vers 0, donc logarithm ici ça tend vers 1, et donc logarithm de x tend vers moins l'infini, tant vers 0 pardon, en plus l'infini, tout tend vers plus l'infini. Ainsi j'intuite que le domaine de définition c'est R plus étoile, enfin le domaine d'arrivée, donc l'image de R par f, ce soit R plus étoile. Donc on prend un y dans R plus étoile, je le nomme y parce que f de x est égal à y, et on va résoudre l'équation f de x est égal à y. Donc c'est équivalent à logarithm de, j'aurais écrit ce que ça veut dire, et comme l'exponentielle est une bijection, on peut appliquer l'exponentielle des deux côtés de l'égalité et on conserve l'équivalence. Comme logarithm est une bijection, on peut appliquer logarithm des deux côtés de l'égalité, on est bien sur le domaine de définition des deux côtés, et conserver l'équivalence. Ainsi on a trouvé un antécédent à y, et vu qu'on a l'équivalence, on a l'unicité de ces antécédents et l'existence. Donc quel que soit y appartenant à R plus étoile, f moins 1 de y égale logarithm de exponentielle de y moins 1. Donc on a l'existence et l'unicité de l'antécédence qui nous donne l'image de R par f, qui est bien R plus étoile, et en même temps ici on a la bijection réciproque, définition de la bijection réciproque. Donc f moins 1 de y égale logarithm de exponentielle de y moins 1, pour toute y dans R plus étoile. Voilà, c'est la fin de cet exercice, et on se dit à la prochaine fois !

Bijection réciproque

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