Home

2BAC SM Maroc

Maths SM&SP

Analyse

Continuité sur un segment, TVI et bijection réciproque

Dans cette vidéo, nous étudions une fonction f définie comme f(x) = x-2 + log(x), où la fonction logarithme est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs. Nous montrons tout d'abord que f réalise une bijection de l'ensemble des nombres réels positifs sur l'ensemble des nombres réels inclus dans R. Nous utilisons la forme explicite de f et montrons sa stricte monotonie et continuité pour prouver cette bijection. De plus, nous démontrons que l'application réciproque de f, appelée g, est également une bijection. En utilisant le théorème de limite monotone, nous déterminons les limites de g aux bornes de l'intervalle, c'est-à-dire à l'infini et moins l'infini. Nous appuyons notre démonstration sur le fait que g est strictement croissante et minorée par zéro. Nous prouvons ainsi que la limite de g à l'infini est plus l'infini et à moins l'infini est zéro. Ensuite, nous démontrons que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'ensemble des nombres réels positifs, que nous notons alpha. Enfin, nous étudions la limite de f(x)/x et utilisons cette information pour déduire une limite pour f(g(t))/g(t) ainsi qu'un équivalent de g au voisinage de l'infini. Nous concluons la vidéo en résumant les résultats obtenus.

Salut c'est Paul, et bienvenue dans cette nouvelle vidéo où on va parler de continuité, bijectivité et application réciproque. Donc, on a une fonction f définie comme étant la fonction qui s'associe à x, x-2 plus logarithm de x, c'est défini sur r plus étoile, parce qu'on a un logarithm ici, et on va montrer d'abord que f réalise une bijection de r plus étoile sur r, et étudier l'application réciproque de g avec toute continuité et monotonie limite au bord de l'intervalle, donc la base des études de fonction. Donc, comment on va montrer que f réalise une bijection ? C'est très simple, on a la forme explicite de f, et c'est une fonction facile à interpréter, c'est des fonctions usuelles, donc on utilise le terme de la bijection, on va montrer la stricte monotonie, donc f est strictement croissante et continue sur r plus étoile, par somme de fonctions strictement croissantes et continue sur r plus étoile, là il n'y a même pas besoin de la dériver, donc f réalise une bijection de r plus étoile dans f de r inclus dans r, et on a qu'en plus infini la limite est égale à plus infini, et en zéro la limite est égale à moins infini, donc par continuité de f, l'image de r plus étoile par f est bien r, on a bien que f réalise une bijection de r plus étoile dans r. Maintenant on va étudier la bijection réciproque de f qu'on nomme g, donc f est continue et strictement croissante, pourquoi je dis ça ? Parce que f moins 1 de g égale g, et donc continue aussi et est strictement croissante, c'est une propriété de la réciproque, c'est le piège de partir et d'essayer de passer à des choses compliquées, en fait non, c'est juste parce que c'est la bijection réciproque, elle conserve la continuité et la stricte croissance, elle est strictement monotone aussi et elle a la même monotonie. Donc g est une bijection, la bijection réciproque est aussi une bijection, c'est dans le nom de r dans r plus étoile, donc g est minoré par zéro et non majoré, alors là en fait, par où je pars, je vais expliquer, on part pour trouver là ce qui nous manque, c'est les limites aux bornes de l'intervalle de g, donc en plus l'infini et moins l'infini. Donc là, j'utilise le fait que g est sous la bijection de r dans r plus étoile, donc g est minoré par zéro et non majoré, parce qu'elle arrive dans r plus étoile tout entier, et g est strictement croissante, on l'a démontré jusqu'à présent, mais je le rappelle, donc d'après le théorème de la limite monotone, on a que la limite en plus l'infini de g de x est égale à plus l'infini, parce que stricte croissance et non majoré, et la limite en moins l'infini, c'est égale à g de x, c'est égale à une limite supérieure égale à zéro, parce qu'elle va dans r plus étoile, g, et elle est minorée par zéro, donc toujours par le théorème de la limite monotone, et on va prouver que cette limite est bien zéro, parce que si elle est strictement supérieure à zéro, par l'absurde, on peut trouver un l sur 2 ici, tel que g n'atteindra jamais ce l sur 2, parce que d'après le théorème de la limite monotone, g approche la limite par la stricte croissance de g, g approche la limite par valeur supérieure ici, donc n'atteint jamais ce domaine ici, et ainsi ça contredit l'objectivité de g. De r dans r plus étoile. Ainsi, la limite de g en moins l'infini, c'est égale à zéro, et donc on a bien tout répondu à la question sur les propriétés de g. Maintenant on va montrer que l'équation f de x égale à zéro admet une unique solution dans r plus étoile notée alpha. F de x égale à zéro, c'est la définition de l'objectivité de r plus étoile dans r. Tout simplement, c'est par définition, et qu'on a prouvé que f est l'objectif de r plus étoile dans r. F de x égale à zéro possède une solution alpha appartient à r plus étoile. Maintenant on va étudier la limite de f de x sur x, et on va en déduire une limite sur f de g de t sur g de t, puis un équivalent de g au voisinage de plus d'infini. D'abord, f de x sur x, on connait f, quelque soit x strictement supérieur à zéro, on calcule ce que ça fait f de x sur x, ça fait 1 moins 2 sur x plus log m de x sur x, et là on étudie les limites. Par croissance comparée, log m de x sur x tend vers zéro, le x l'emporte sur le log m de x, et ainsi la limite qu'on cherchait c'était 1. Maintenant on va remarquer que la limite de g de t, comme on l'a vu plus précédemment, en plus l'infini, c'est plus l'infini, est que g de r c'est égal à r plus étoile, donc on peut composer les limites, parce que l'image de g est à valeur dans le domaine de décision de f, ainsi par composition des limites. La limite pour t tend vers plus l'infini de f de g de t sur g de t est égale à 1, on remplace le x par le g de t ici. Or, on doit trouver un équivalent de g en plus l'infini. On va utiliser la définition par la limite de l'équivalent, la limite de g sur g est égale à 1, donc on va essayer de remplacer ce f de g de t. On remarque que f de g de t, pour quelque chose qui appartenait à r, c'est égal à t, parce que g est la bisection assez proche de f. Ainsi, on a que cette limite ici, c'est la limite de t sur g de t, c'est égal à 1, et donc c'est bien la définition que g est équivalent à t en plus l'infini. C'est la fin de cet exercice, et on se dit à la prochaine fois !

Équivalent d'une bijection réciproque

RELATED

Recommended videos

Variations et théorème des valeurs intermédiaires

Point fixe et continuité

Fonction bornée

Nos années

Nos principales matières