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Analyse

Continuité sur un segment, TVI et bijection réciproque

Dans cet exercice, Paul cherche à démontrer qu'il existe toujours deux points sur l'équateur où les températures sont égales. Il considère la température à l'équateur comme une fonction continue de la longitude.

Il explique que cette fonction, nommée T2x, est périodique avec une période de 2pi. Il montre ensuite que, graphiquement, il existe un intervalle de pi où la fonction prendra les mêmes valeurs. Il utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver cela.

Ensuite, il introduit une fonction f(x) qui est égale à T2x - T2x + pi et montre que deux valeurs de x existent, x0 et x1, telles que f(x0) est positif et f(x1) est négatif.

Il utilise ensuite la périodicité de T2x pour montrer que f(x1 +2pi) est égal à f(x1), inversant ainsi les rôles de x0 et x1. Il conclut alors qu'il existe un autre point x2 entre x0 et x1 où f(x2) est égal à zéro.

En conséquence, il démontre que pour tout point sur l'équateur, il existe un point opposé où la température est égale.

Salut c'est Paul, et on se retrouve pour un exercice assez intéressant où on va essayer de prouver quelque chose avec les propriétés sur les continuités de fonctions. L'exercice consiste à démontrer qu'il existe à tout moment deux points posés sur l'équateur où les températures sont égales. Et là, on a une indication, on pourra considérer que la température à l'équateur est une fonction continue de la longitude. Qu'est-ce que ça veut dire ? On va considérer cette fonction, la température T2x, elle est continue, et elle va être périodique, parce que si on a l'équateur ici, on le paramètre de 0 à 2pi pour un angle en radian par exemple, ça n'a pas vraiment d'importance mais comme ça, ça permet de nous rattraper à quelque chose qu'on connaît, et elle est périodique de période 2pi. Et donc nous, ce qu'on va voir, c'est qu'il faudra trouver un point x ici, tel que x plus pi, que T2x est égal à T2x plus pi. Si on dessine un peu cette fonction, on remarque qu'en fait, comme elle est périodique, T2x est égal à T2pi, donc la fonction va faire des choses là, entre 0 et 2pi, et on voit que là, il va bien exister, c'est assez intuitif qu'il va bien exister un intervalle pi comme quoi, si on dessine des barres pi là, quel que soit le dessin qu'on va faire, qu'on peut imaginer à la main à continuer, on va pouvoir mettre un intervalle pi comme ça, qui va relier deux points de la courbe. Donc ça nous paraît raisonnable déjà, et qu'est-ce que ça veut dire ça ? En fait ça va sûrement être une histoire de TVI, de théorème des valeurs intermédiaires, parce que c'est entre deux valeurs, il y a une courbe qui prend deux valeurs, il va falloir juste trouver la bonne fonction qui va s'annuler, qui va s'annuler parce que le TVI ça parle de fonction en 0, là ça parle de fonction qui prend la même valeur en deux points, bon c'est pas tout à fait pareil, et donc cette histoire de TVI, et en fait on va poser une fonction, on va se ramener à une seule fonction, au lieu de dire la même fonction est égale à deux endroits différents, on va se ramener à annuler une fonction, donc T2x moins T2x plus pi, donc on va rechercher les points d'annulation de f2x, et grâce au théorème des valeurs intermédiaires on va y arriver, avec la continuité et les histoires de périodicité, tout ça. Donc c'est parti. Donc on a la Terre ici avec l'équateur, et on assimile l'équateur à un cercle que l'on paramètre de 0 à 2 pi, par la longitude x, et on assimile aussi la température à l'équateur à une fonction continue T, de la longitude x, et on remarque en fait que T est de 2 pi périodique, par définition, c'est physique, c'est évident, et on doit montrer finalement qu'il existe un x tel que T2x est égal à T2x plus pi. Donc ça c'est pour nous rappeler un peu, traduire ce que ça veut dire, démontrer qu'il existe à tout moment, etc. Donc maintenant, là comme on a dit, vu qu'on sait que ça va être plus simple de travailler sur une fonction f qui va s'annuler, on va traduire ça en disant qu'il existe un x tel que T2x moins T2x plus pi est égal à 0, et donc on va poser la fonction f de R dans R, qui a x associé à T2x moins T2x plus pi. Elle est continue et de 2 pi périodique, parce que T est continue et de 2 pi périodique. Et maintenant, on va essayer de trouver deux x tel que f va être, enfin deux x ici, tel que f, enfin un x positif et un x négatif, tel que, et comme ça f va pouvoir, enfin on va essayer de trouver un x tel que f est strictement positive, et un x tel que f est négative, et ainsi f va s'annuler entre les deux. Donc si on prend un x entre 0 et pi, un x0 par exemple, j'ai pris entre 0 et pi mais il n'y a pas forcément d'obligation, et si f de x0 est égal à 0, on a trouvé nos deux points, c'est x0 et x0 plus pi. Sinon, f de x0 est différent de 0, et on peut supposer que f de x0 est strictement supérieur à 0, sans perte de généralité, parce que c'est la même chose en inversant les inégalités, vous verrez, si f de x0 est strictement inférieur à 0. Donc ça va être notre point positif, et maintenant on va essayer de trouver un x1 tel que f de x1 est strictement négatif. Comment on va faire ? Qu'est-ce que ça veut dire que f de x0 est strictement supérieur ou égal à 0 ? Ça veut dire que t de x0 est strictement supérieur à t de x0 plus pi, et maintenant on va utiliser la 2pi par utilité de t, en disant que t de x0 plus 2pi est strictement supérieur ou égal à t de x0 plus 3pi, et on pose là x1 est égal à x0 plus pi, et donc t de x1 plus pi est strictement supérieur à t de x1 plus 2pi, par ici là, plus 2pi, on a juste injecté x1 ici dans l'équation supérieure, et on remarque que comme t est 2pi périodique, t de x1 plus 2pi est égal à t de x1, et ainsi on a inversé les rôles de t de x0 et de t de x0 plus pi avec x1, et donc là si on remet tout du bon côté, on a f de x1 est strictement inférieur ou égal à 0, donc là on a bien un f continu et on a un f de x0 strictement supérieur ou égal à 0, un f de x1 strictement inférieur ou égal à 0, et donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un autre 1x2 entre x0 et x1 tel que f de x2 est égal à 0, et donc t de x2 est bien égal à t de x2 plus pi par définition de f, ainsi dans tous les cas on a bien trouvé un point tel que son point opposé sur l'équateur à la même température que lui, donc il y a bien à tout le monde deux points opposés de l'équateur où les températures sont égales. Voilà, c'est la fin de cet exercice, et on se dit à la prochaine fois !

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