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Analyse

Continuité sur un segment, TVI et bijection réciproque

Salut, dans ce cours, nous allons montrer que la fonction f est continue sur le segment AB. Pour cela, nous allons supposer par l'absurde qu'il existe un point x0 dans A et B où f n'est pas continue. Comme f est croissante et bornée sur A et B, les limites L- et L+ existent et sont finies. Si f était continue en x0, alors L- serait égal à L+. Cependant, puisque f n'est pas continue en x0, L- est différent de L+. En utilisant la croissance de f, nous pouvons montrer que pour tout x dans A et x0, f(x) est inférieur ou égal à L-. De même, pour tout x dans x0 et B, f(x) est supérieur ou égal à L+. Comme L- et L+ sont différents, il existe un alpha compris entre L- et L+ qui n'appartient pas à l'image de f sur AB. Cependant, alpha appartient à AB, ce qui crée une contradiction. Par conséquent, f est continue sur le segment AB. C'est la fin du cours, à bientôt !

Salut c'est Paul, et on se retrouve pour un nouvel exercice sur la continuité. Ok, donc là on a f, une fonction croissante sur le segment AB, tel que l'image par f du segment AB est égale au segment f2 à f2B. Et on va devoir montrer ici que f est continue sur ce segment AB. Donc là, moi j'aime bien faire un dessin, la continuité c'est bien de faire des dessins, tout ça pour visualiser bien tous les quantificateurs. C'est bien de visualiser, voilà. Et donc qu'est-ce que ça veut dire ? F croissante sur AB tel que ceci. Et en fait, l'image du segment AB ici est égale au segment f2 à f2B. Et f est croissante, donc je sais que f2 à f2B sont bien dans le même ordre que A et B. Et ça veut dire que le graphe de f est compris dans ce rectangle ici. Et donc si je trace f, donc f est croissante, si je trace f ici, elle est continue. Imaginons qu'elle soit discontinue. Ici, on voit bien que ce morceau du segment f2 à f2B n'a pas d'antécédent par f. Et la seule manière pour qu'il en ait, et que f soit continue, c'est que ici ça reprenne et là ça reprenne en bas par exemple. Mais là, on casse la croissance. Donc c'est comme ça qu'on va faire. On va soit casser la croissance, soit casser le fait que l'image soit égale à f2 à f2B. Et donc la bonne manière de le faire soit par l'absurde. C'est parti. On va supposer qu'il existe un x0 appartenant à A et à B tel que f est non continue en x0. Et donc quand on aura la négation, ça nous donnera que f est continue en toute x0 appartenant à A et à B. Et donc là, on est sur A et B. Comme f est croissante et bornée sur A et B, les limites suivantes existent et sont finies. D'après le théorème de la limite monotone. C'est ça qui est important, le fait que f soit sur le segment. Donc la limite de f2x quand x tend vers x0 par valeur négative c'est égale à L-. Et elle est différente de la limite de f2x quand x0 tend vers la valeur positive L+. Parce que sinon on aurait la continuité en x0. Et on a bien f non continue en x0. Et par croissance de f et en utilisant l'inégalité fournie par le fait que f soit croissante et en passant à la limite. On a que quel que soit x appartenant à A et à x0, f2x est inférieur ou égal à L-. Et quel que soit x appartenant à x0, f2x est supérieur ou égal à L+. Et en fait, entre L- et L+, qui sont différents les uns des autres. On a qu'il existe un alpha ici, compris dans le segment L- et L+, qui est non vide. Parce que par croissance et le fait que les deux limites sont différentes. Il existe un alpha tel qu'il n'appartient pas à f2ab. J'ai re-écrit ce qu'on avait vu un peu sur le schéma. Et donc alpha n'appartient pas à f2, segment AB. Or alpha appartient au segment AB, parce que alpha appartient à L- et L+, qui sont eux-mêmes compris dans AB. D'où une contradiction, ainsi f est continue sur le segment AB. Voilà, c'est la fin de ce l'exercice, et on se dit à une prochaine fois !

Ensemble image et continuité

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