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Dérivation et composition : rappels

Dans cette vidéo, nous allons voir comment dériver une fonction composée. Avant de commencer, rappelons rapidement ce qu'est la composition. En première, nous avons déjà vu les bases de la composition, mais maintenant nous allons approfondir notre compréhension théorique. La composition nécessite certaines contraintes sur les ensembles d'arrivée et de départ des fonctions que nous composons. Pour dériver une fonction composée, nous allons reprendre des exemples que nous connaissons déjà. Au lieu de nous lancer directement dans une formule théorique, nous préférons commencer par des exemples plus simples. Reprenons l'exemple de la fonction 1/x, nous savons déjà que sa dérivée est -1/x^2. Donc, intuitivement, nous pourrions penser que la dérivée de 1/u est -1/u^2. Cependant, cela n'est pas correct. En réalité, la bonne formule est 1/u' = -u'/u^2. Nous devons toujours prendre en compte le facteur u' dans notre formule. Poursuivons avec l'exemple de la racine de x. Nous savons que la dérivée de la racine de x est 1/(2√x). Une fois de plus, intuitivement, nous pourrions penser que la dérivée de la racine de u est 1/(2√u). Mais nous devons prendre en compte le facteur u'. La bonne formule est u'/(2√u). Nous voyons ici un motif se dessiner : le facteur intuitif que nous connaissons, multiplié par u'. Si nous continuons, nous pouvons rappeler que la dérivée de e^u est e^u * u'. Voici un tableau récapitulatif des différentes dérivées : a*u+b = a*u' + b, u^2 = 2*u*u', u^3 = 3*u^2*u', u^n = n*u^(n-1) * u', 1/u = -1/u^2 * u', etc. Il y a toujours ce facteur u' qui s'ajoute. La formule générale se résume donc à : v o u' = v' o u * u'. Une conséquence intéressante est que si v et u ont la même monotonie (toutes les deux croissantes ou toutes les deux décroissantes), alors la fonction composée v o u est croissante. Par contre, si elles ont des monotonies opposées (une croissante et une décroissante), alors la fonction composée v o u est décroissante. Nous pouvons également voir cela à travers quelques exemples graphiques. J'espère que tout cela est clair, n'hésitez pas à poser des questions sur le forum. Bon entraînement avec les vidéos de méthodes et à la prochaine !

Dans cette vidéo, on va voir maintenant comment dériver une fonction composée. Donc on a pris le temps de bien comprendre ce que c'était la composition, sachant qu'on avait un petit peu vu ça normalement en première, mais là on a bien vu théoriquement ce que ça voulait dire, il fallait, il y avait des contraintes très fortes sur les ensembles d'arrivée et le départ des fonctions qu'on compose. Maintenant on va essayer de dériver ça. Alors, comment on va faire ? Ça va être assez simple en fait. On va reprendre tout bêtement un exemple, les formules qu'on connaît déjà. Avant de faire la grande formule théorique, toujours elles font peur les formules théoriques, donc moi je préfère commencer par les exemples les plus faciles, du genre ce qu'on a vu en première. Pour u, une fonction dérivable, et x, un réel, on peut dire comme 1 sur x c'est moins 1 sur x2, alors 1 sur u prime c'est moins 1 sur u carré. Bah oui, ça a l'air intuitif. C'est facile en fait, si on connaît bien son tableau de dérivés basique, 1 sur x prime c'est moins 1 sur x2, on se dit ben 1 sur u avec u fonction, c'est moins 1 sur u carré. Or non, on a vu dans le cours de première que c'était pas ça. Et surtout ne pas oublier le u prime de la formule. Et ça, ça va être le truc que je vais dire pendant toute la vidéo. Alors il faut surtout pas oublier le u prime, et la bonne formule c'est 1 sur u prime égale moins u prime sur u carré. C'est-à-dire que c'est bien le moins 1 sur u carré qui a l'air intuitif et qui a l'air sympa, dont on parlait tout à l'heure, mais fois u prime. Donc en gros, il y a le moins 1 sur u carré, c'est vrai, mais c'est fois u prime. Je l'écris comme ça là, je sépare les deux en gros uniquement pour faire marquer un petit pattern, si vous voulez, un truc qui va arriver souvent. Si je continue, on reprend avec racine de x. Racine de x prime, c'est 1 sur 2 racine de x. Donc logiquement, racine de u prime, si je suis ma logique très bêbête, ça fait 1 sur 2 racine de u. Non, toujours pas. Il faut toujours pas oublier le u prime, et si vous vous rappelez vos formules de première, en tout cas on les revoit ici si vous avez oublié, la bonne formule c'est u prime sur 2 racine de u, soit 1 sur 2 racine de u, le truc intuitif dont je parlais ici, ne serait-ce pas 1 sur 2 racine de u ? Non. Mais pas loin, fois u prime. On commence à voir un petit truc qui se passe, c'est le truc intuitif, fois u prime, ça c'était tout à l'heure, et rebelote, encore fois u prime. Bon ben on se dit quand même, il y a peut-être quelque chose là. On pourrait rappeler de la même manière, encore il faudra, je vous ai mis une dose de rappel, que e de u, le tout prime c'est e de u fois u prime, et non pas juste e de u, etc. Il y a un petit tableau de tout ce qu'on a vu, une fonction prime, a u plus b c'est a u prime plus b, très bien, u carré c'est 2u fois u prime, u cube c'est 3u carré fois u prime, u puissance n donc c'est n u n-1 comme n x n-1 pour la dérivée de x puissance n, mais fois u prime, 1 sur u c'est la même chose, 1 sur u carré fois u prime, etc. Il y a toujours un fois u prime qui vient se rajouter. C'est le truc intuitif qu'on connaît quand c'est juste un x tout seul, parfait c'est le même tableau on est contents, et maintenant il y a un fois u prime parce qu'en fait c'est une fonction, c'est cette petite nuance du fois u prime. La généralité qui se dégage c'est ça, c'est la formule un peu de base sans oublier le u prime. Alors définition formelle, voilà la définition, soit u et v deux fonctions, vérifiant toutes les conditions de définition requises, imaginez qu'il y a une racine, imaginez qu'il y a un inverse tout ça, tout est bon. Elles sont dérivables, elles ont des dérivés u prime v prime, alors la dérivée de v rend u c'est quoi ? On a vu dans tous les exemples, c'est apparemment le truc intuitif appliqué à u, donc j'imagine b prime de u en fait, auquel on ajoute, on essaye de ne pas oublier le u prime. En effet, c'est v prime appliqué à u, rond u, qu'on compose sur u, par exemple pour racine de u ça fait 1 sur 2 racine de u, donc c'est bien 1 sur 2 racine de x appliqué à u, fois u prime qu'on n'oublie pas. Donc voilà la formule générale qui se dégageait en fait de toutes les formules qu'on a vues. Donc si vous vous rappelez juste les 3-4 formules, la logique que j'ai présentée de on fait le truc d'habitude fois u prime, c'est en fait cette formule, si on l'écrit proprement, si on l'écrit aussi avec des x, donc v ron u prime ça fait v prime appliqué à u, donc v prime de u de x fois u prime. Voilà conséquence assez simple, si v et u sont de même monotonie, donc ça c'est important, alors v ron u est croissante, ça c'est assez intéressant, c'est à dire que si d'un côté j'ai v et u qui sont croissantes ou v et u qui sont décroissantes, alors la fonction v ron u est croissante. Par contre si elles sont de monotonie contraire, c'est à dire une croissante et une décroissante, dans ce cas là la composée, l'ensemble v ron u est décroissante. Je vais vous faire quelques exemples. Si je compose maintenant avec des monotonies contraires, je vous fais un petit exemple, alors peut-être que là vous ne voyez pas assez mon écran, je vais peut-être vous mettre tout ça, ce sera peut-être plus intéressant pour vous, de voir qu'ici j'avais défini pas mal de fonctions et qu'en fait à chaque fois, donc je vous mettrai le lien de ce truc là, à chaque fois vous voyez il y a les différentes compositions, j'en ai fait pas mal. Si ensuite je mets des monotonies qui sont opposées, donc une croissante avec une décroissante, j'obtiens un truc qui décroît, voilà, quand vous composez croissante et décroissante ça décroît, croissante-croissante ça croît, décroissante-décroissante ça croît. C'est un peu genre plus plus et moins moins ça fait plus, plus moins moins plus ça fait moins, c'est un peu la même chose. J'espère que tout ça a été très clair, allez vous entraîner avec les vidéos de méthodes, ça sera capital pour cette partie du cours. J'espère que c'était très clair, encore une fois n'hésitez pas à aller poser plein de questions sur le forum, et je vous dis à la prochaine !

Dériver une composée

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