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Dérivation et composition : rappels

Dans cette leçon, nous étudions une fonction composée et apprenons comment effectuer son étude et construire le tableau de variation. L'exemple donné est la fonction E2-1/ x². Nous identifions la fonction h comme étant l'exponentielle, définie et dérivable sur R, tandis que la fonction g est égale à -1/ x², définie et dérivable sur R* (sauf en 0). En composant ces deux fonctions, nous concluons que f est définie sur R*. Nous utilisons ensuite les formules de dérivation pour trouver que g' est égal à 2/ x³ (du même signe que x), et nous pouvons en déduire les variations de g et construire son tableau de variation. Les limites de g sont également calculées dans le tableau complet. Le sens de variation de F est ensuite étudié en analysant la variation de H. En utilisant les règles des sens de variation (croissant avec croissant donne croissant, etc.), nous concluons que F est décroissante sur R* - et croissante sur R* +. Les limites de F sont calculées en utilisant les limites de G et H par composition. Enfin, nous obtenons le tableau de variation complet de F. La fonction n'est pas définie en 0, ce qui ne peut pas être détecté sur une calculatrice. Cependant, dans le contexte de la continuité, nous pourrions étendre la fonction en définissant F(0) = 0. Une autre méthode aurait été d'étudier directement la fonction F en calculant sa dérivée, mais cette approche a été évitée dans cette leçon. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser sur la FAQ.

Dans cette méthode, on va étudier une fonction composée, on va regarder comment on fait l'étude et donc le tableau de variation d'une fonction qui est une composée de deux autres fonctions. Dans cet exemple-là, ça sera E2-1 sur x², la fonction qui est proposée. A chaque fois qu'on voit une fonction, une composition, on va bien expliciter ce que c'est. Là, je dis que c'est de la forme h rongé de x, où g, c'est –1 sur x², et h, l'exponential. Là, j'ai parfaitement identifié, la fonction h, c'est l'exponential qui est défini sur R, et dérivable sur R d'ailleurs, et g, la fonction –1 sur x², attention, elle, elle est définie et dérivable sur R.*, en 0 elle n'est pas définie. Donc, par composition, ça veut dire que f est défini sur R.*. Une fois qu'on a identifié ça, on va pouvoir faire son tableau de variation. J'utilise mes fonctions, mes formules de dérivation, je sais que g', c'est la fonction, en faisant le calcul, ça fait 2 sur x³, donc je vois que c'est du signe de x, ça c'est très facile, du coup c'est –g' entre mon infini et 0, et positif ensuite. Attention, ici 0 est une valeur interdite à cause du dénominateur, donc j'en déduis le sens de variation de g et son tableau de variation, c'est-à-dire qu'elle est négative ici, décroissante, pardon, excusez-moi, et croissante de 0 plus infini. Ensuite, pour les limites, dans un tableau de variation complet, il y a toujours les limites, donc on essaie de les mettre toujours. Alors, en plus ou moins l'infini, –1 sur x² c'est envers 0, donc voilà pourquoi j'ai 0 et 0 ici, et la limite en 0 de –1 sur x², c'est moins l'infini, que ce soit en 0+, ou 0-, à cause du carré dans le x, ça sera toujours négatif. Donc voilà, là j'ai toutes mes limites, j'ai mes 4 limites, j'ai un tableau de variation complet. Alors, je vais tracer la fonction pour qu'on voit à quoi ça ressemble. Évidemment, on aurait pu même étudier qu'une partie de la fonction sur un intervalle, parce qu'on aurait pu tout de suite voir que la fonction est paire. Si on étudiait la parité de la fonction, on s'est dit qu'on ne peut l'étudier que sur R+, par exemple, et j'aurais déduit les variations sur R1 par parité. Alors, maintenant on nous demande le sens de variation de F, c'est-à-dire gérons H. La règle, c'est... alors attention, des fois les élèves sont un peu perturbés, le sens de variation, le signe, c'est deux choses complètement distinctes. C'est rien à voir les deux, je peux très bien avoir une fonction croissante qui est positive, croissante négative, etc. C'est deux choses complètement distinctes. Les règles, c'est un peu comme les règles de multiplication sur les signes que vous avez appris en quatrième maintenant. Plus-plus ça fait plus, moins-moins ça fait plus, plus-moins ça fait moins, etc. Là c'est pareil avec les sens de variation. Croissant composé avec croissant ça fait croissant. Décroissant avec décroissant ça fait, grosse erreur, ça fait croissant. C'est bon, c'est corrigé. Ensuite, croissant avec décroissant ça fait décroissant, quel que soit le sens. Bref, vous avez compris. Donc là, gérons H, qu'est-ce qu'on a ? La fonction exponentielle est croissante sur R. Et la fonction H, on vient d'étudier son sens de variation. Donc finalement il y aura deux intervalles. On en déduit que F sera décroissante sur R étoile moins et croissante sur R étoile plus. Ensuite pour les limites, on est obligé de revenir vraiment aux limites d'une composée. Donc je regarde en moins l'infini G de X tend vers 0. Ensuite comme c'est H rongé, je regarde la limite quand X tend vers 0 de H de X et ça fait 1. Donc j'en déduis que ma fonction F tend en moins l'infini vers 1. Idem, je regarde en plus l'infini, G de X en plus l'infini tend vers 0. Là je viens de le faire H de X quand X tend vers 0, ça tend vers 1. Donc par composition, F de X tend vers 1. Ensuite en 0, on a vu que G de X tend vers moins l'infini en 0. Comme on étudie H de G de X, comme G de X tend vers moins l'infini, on va regarder H de X quand X tend vers moins l'infini par composition. Et ça, ça tend vers 0. Donc ma limite de F en 0, c'est 0. D'où le tableau de variation de F. Donc décroissante, croissante et ça va de 1 en 0, 0 à 1. Là j'ai un tableau de variation complet avec mes limites. Et voilà. Là c'est pas évident du tout, mais la fonction n'est pas définie en 0. Elle n'est pas définie en 0 et ça ne se voit pas sur la calculatrice. Mais ça c'est le chapitre de la continuité. On pourrait par contre prolonger par continuité cette fonction et poser F de 0 égale à 0. Autre méthode, on aurait pu étudier directement la fonction F et en calculant sa dérivée, ce qu'on n'a pas fait ici. On a vraiment étudié l'intérieur de la composée. Mais on pourrait très bien faire une étude classique en disant que je connais la dérivée d'une composée de H fond G. Ça fait H prime de G fois G prime. Mais on serait tombé au même résultat. Voilà comment on peut étudier, sans calculer la dérivée de la fonction, comment on peut trouver le sens de variation d'une fonction d'une composée. Si vous avez moindre question, comme d'habitude, vous pouvez vous manifester sur la FAQ.

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