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Les Primitives

Dans ce cours, nous revenons sur la notion de dérivée avant d'aborder les primitives. La dérivée permet d'accéder à la pente des tangentes d'une courbe, ce qui permet de déterminer si la courbe monte ou descend. Cependant, la dérivation ne sert pas seulement à cela, elle permet également de déterminer quand une fonction est croissante, décroissante, ou s'il y a un maximum ou un minimum.

La primitive est une notion inverse de la dérivée. Elle consiste à trouver une fonction F telle que sa dérivée soit égale à une fonction donnée f. C'est un peu comme une anti-dérivation.

Il existe des formules pour les primitives, similaires à celles utilisées pour les dérivées. En connaissant ces formules, il est possible de trouver les primitives des fonctions. Par exemple, si la fonction donnée est 2x, sa primitive est x2/2. 

Il est important de noter que les tableaux de dérivation que nous avons appris précédemment peuvent être utilisés à l'envers pour trouver les primitives.

Les applications des primitives sont nombreuses, notamment en physique, en chimie et en économie. Par exemple, en physique, les primitives sont utilisées pour retrouver le mouvement d'un objet à partir de ses accélérations. En chimie, elles sont utilisées pour étudier la vitesse de réaction d'un système. En économie, elles peuvent être utilisées pour optimiser les décisions d'investissement.

Dans le cours sur les primitives, nous aborderons différents points tels que la définition des primitives, leur linéarité, leur existence selon certaines conditions, les primitives des fonctions composées, etc. Il sera également nécessaire d'apprendre les tableaux de primitives et de s'exercer à trouver les bonnes primitives.

Si vous avez des questions supplémentaires, n'hésitez pas à les poser et consultez la FAQ pour plus de détails.

Avant d'attaquer les primitives, je vais faire un petit retour sur la notion de dérivé. Rappelez-vous, on a vu en première la notion de dérivation. La notion de dérivation, c'est un peu illustré sur ce magnifique gif là. Gif. La dérivé, ça nous donnait en fait accès à la pente des tangentes. Et quand on avait la pente des tangentes qui se collait à une courbe, on pouvait savoir si la courbe montait ou descendait. Très pratique. C'est pas le but final de la dérivation. Quand est-ce que c'est croissant, quand est-ce que c'est décroissant, quand est-ce qu'il y a un maximum ou un minimum. Ici, on va vous dire un truc un peu dans l'autre sens. Étant donné que vous avez une fonction f, existe-t-il une fonction telle que f soit la dérivée de cette fonction ? Existe-t-il une fonction F, telle que quand je dérive cette F', alors je trouve f ? Est-ce que je peux voir une f comme une fonction des valeurs des tangentes ? Des valeurs des pentes des tangentes ? En fait, c'est un peu une anti-dérivation si vous voulez. Et on va appeler ça primitivé. Primitivé, c'est un mot un petit peu bizarre, c'est peut-être pas un verbe qui est dans le dictionnaire d'un petit Robert, j'ai pas été vérifié, mais vous voyez l'idée. Primitivé, ça va être faire une espèce d'anti-dérivation. On avait pas mal de formules à apprendre déjà en première, un bon petit tableau bien rempli. Mais en fait, quand vous regardez ce tableau, vous pouvez vous dire, si je connais le tableau, primitivé, c'est-à-dire anti-dérivé, c'est-à-dire que je vais passer de la fonction dérivée à la fonction elle-même. Et ça va être ça, le principe de la primitive. Se dire qu'en gros, on va apprendre le tableau, mais dans l'autre sens. Dans ce chapitre, on aura pas mal de choses à apprendre, mais je vais vous montrer que c'est pas très dur. Essayons un petit jeu. On va faire semblant d'un jeu dynamique, vous et moi, à la maison. Pensez très fort au tableau de dérivation. Essayez de l'avoir sous la main. Mettez pause et essayez de l'avoir sous la main si vous voulez tricher, mais sinon essayez de l'avoir bien visuel en tête. Et essayez de répondre aux questions au fur et à mesure. On est d'accord, quand j'ai le tableau de dérivation, vous savez répondre dérivé de xn, n fois x puissance n-1. On va faire la même chose avec le jeu des primitives. Si je vous dis 2x, vous me répondez. Alors, quelle est la formule, quel est le machin qui va se dériver et donner 2x ? x2. Simple, efficace, c'est juste une ligne du tableau de première, x2 se dérive en 2x. Jusqu'à là, c'est facile. Si c'est ça les primitives, on pourrait ne pas en faire tout un patacas, ne même pas en faire un chapitre, et juste les faire en première. On va compliquer un petit peu plus. Si je vous dis x, ça donne un truc genre x2, mais en fait, il y a un 2 qui n'est pas là. x2 sur 2. Ça va être la réponse. Et on peut continuer comme ça. Si je vous donne x², quel est le machin qui, quand je dérive dans x² ? Bon, vous l'avez, vous l'avez, c'est en fait un quoi ? On sait qu'un truc qui se dérive en x puissance n-1, ça va être un x avec, en gros, une puissance en plus. Donc x³, si je le dérive, ça fait x³ dérivé. J'applique la formule de première. x³' c'est n fois x n-1, donc 3 fois x puissance 2. Ok, 3x². Ah, il n'y a pas le 3. Bon, il n'y a pas le 3. x³ sur 3. Ça, c'est la notion de primitive. Je l'ai un peu exagéré, je vous l'ai fait des cas simples, mais c'est un peu l'idée. Il va falloir apprendre le tableau de l'année dernière, avec des petites nuances. Il faudra chipoter sur les constantes, 2x, comme par hasard, on va vous dire x. Quand on le fera à l'envers, il n'y aura pas les bons coefficients qui nous arrangeront, donc il faudra les retrouver en les divisant souvent dans la colonne de droite. Alors, quelles applications ça peut avoir ? J'ai envie de vous dire quand même que ça sert à quelque chose, ça ne sert pas à rien. Comme application, c'est ce que je disais avant, il faut trouver la fonction qui, une fois que je la dérive, tombe bien sur ce qu'on me demande. Oui, ça, c'est un peu l'idée du contrôle que vous pouvez faire en permanence. Quand on vous demande une question de primitive, avant de lancer la copie et de ne plus regarder, dites-vous, ok, j'ai dit que c'était ça, redérivons la réponse que je viens de donner. Si je la redérive, est-ce que je tombe bien sur ce qu'on me demande ? Par exemple, là, si on me demande la dérivée de x et que je dis x², si je redérive x², ça fait 2x, donc non, ça ne marche pas. C'est une astuce pour ne pas se tromper. Alors, quelles applications ? Les applications, principalement, ça va être beaucoup en physique, chimie. En physique, j'ai mis un superbe graphe qui étudie le mouvement au fur et à mesure du temps d'un ressort amorti. Vous voyez qu'il y a un mouvement amorti, c'est-à-dire que de plus en plus, ces oscillations deviennent très faibles parce qu'il y a des frottements et des choses qui font que ça affaiblit. Comme application, on aura, si on pense à la physique très basique, la mécanique newtonienne, on va trouver l'accélération d'un objet et on va dire que, si vous ne faites pas de physique, je vous le dis comme ça, l'accélération d'un objet est déterminée par la somme des forces qui s'appliquent dessus. En gros, s'il y a une force qui pousse, ça l'accélère. Bon, logique, s'il y a une force qui le freine, genre, je ne sais pas, du gravier, vous essayez de rouler là-dessus, bon, ça vous aide à vous freiner, vous allez décélérer. Vous avez l'accélération par l'analyse des forces. Il se trouve que l'accélération, c'est la dérivée de la vitesse. Donc il faut qu'on primitive l'accélération, qu'on aille en arrière, qu'on fasse l'antidérivation pour retrouver la vitesse. Et de la même manière, on reprimitive pour trouver la position. Parce que la vitesse, c'est en fait la dérivée de la position. La vitesse, c'est le nombre de kilomètres que j'ai parcouru en une distance. C'est un espèce de pente. Et une pente, c'est une dérivée. Donc on va primitiver à partir de cette analyse des forces, qui est quelque chose du monde physique, donc les forces, le poids qui s'appliquent, un opérateur qui pousse sur un caillou, un truc comme ça. On va trouver l'accélération, puis primitiver pour trouver le mouvement général de l'objet en fonction des forces qui s'appliquent sur lui. En chimie, il y aura aussi des études sur la vitesse de réaction, donc à quel point ça réagit vite quand je mets le produit A, le produit B, le réactif A, le réactif B, pour me donner des produits en sortie. Voilà, selon le nombre de molécules que je mets, selon les conditions de vitesse, etc. Il y aura des études comme ça. Et enfin, en économie, il y aura aussi des applications pour optimiser les décisions d'investissement. Alors là, c'est peut-être de l'économie qui sera plus poussée dans le supérieur, mais il y aura beaucoup de dérivations en économie. En bilan, sur les primitives, ce qu'on peut dire, les points de cours, on va chercher d'abord la définition. Primitif d'une fonction continue, primitif des fonctions visuelles, linéarité des primitifs, vous savez la primitif de f plus g, ce sera un F plus G, assez simple. Ça va se baser sur la linéarité de la dérivée. Ensuite, il y aura l'existence des primitives, à quelles conditions elles existent, ensemble de définitions, conditions initiales, primitifs de fonctions composées, ce sont des détails en gros sur ce qu'on pourra voir dans le chapitre des primitives, vous verrez ça dans les vidéos qui viennent juste après. Les méthodes, déterminer l'ensemble des primitives d'une fonction, c'est très basique, transformer l'écriture d'une fonction pour obtenir les bonnes primitives, tout à l'heure par exemple, on a vu qu'il fallait diviser par deux, mais là ce sera des trucs beaucoup plus compliqués, et déterminer les primitives des fonctions composées, comment faire ça dans le concret. Si vous avez des questions en plus, n'hésitez pas, je vais vous faire un petit aperçu général sur les primitives, c'est simple dans le concept, c'est pas très compliqué, il faut juste apprendre bien les tableaux et ensuite vous habituer à cette gymnastique mentale que je vous ai montrée. Les applications seront diverses, si vous continuez en sciences ou en économie, vous en verrez beaucoup, cette année vous en verrez un petit peu en physique pour ceux qui font de la physique, et voilà. Donc je vous laisse, n'hésitez pas à poser des questions, demandez plus de détails dans la FAQ si vous voulez, peut-être que des gens auront déjà répondu, allez voir, et je vous dis à la prochaine vidéo.

Introduction Primitives

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