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Analyse

Les Primitives

Ce cours aborde quelques théorèmes importants sur l'existence des primitives en mathématiques.

Le premier théorème stipule qu'une fonction continue sur un intervalle a des primitives sur cet intervalle. Par exemple, la fonction constante 3 a plusieurs primitives, telles que 3x+2, 3x+5 et 3x-pi. On peut en trouver une infinité en ajoutant une constante.

Le deuxième théorème indique que l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction continue sur un intervalle est l'ensemble des fonctions de la forme F(x)+k, où F est une primitive de la fonction et k est une constante. Cela signifie qu'il n'y a pas d'autres formes de primitives possibles.

Le troisième théorème affirme que pour tout réel y0, il existe une unique primitive qui passe exactement par ce point. Par exemple, si on fixe l'ordonnée 5, il n'y a qu'une seule primitive qui passe par ce point.

La démonstration du premier théorème utilise une démonstration par condition nécessaire et suffisante. On montre que toute fonction qui est une primitive d'une autre fonction doit être de la forme F(x)+k. On prouve également que toute fonction de cette forme est une primitive.

Enfin, le cours présente un tableau récapitulatif des différentes règles pour primitives, similaire au tableau des dérivées. Par exemple, la primitive de la somme de deux fonctions est la somme des primitives des fonctions, et la primitive d'une constante multipliée par une fonction est égale à cette constante multipliée par la primitive de la fonction.

Il est important de maîtriser ces théorèmes et règles pour pouvoir calculer les primitives de fonctions de manière efficace.

Quelques théorèmes très importants sur l'existence des primitives. Alors le premier, très basique, très simple, mais qu'il faut connaître, il faut bien le dire et il faut bien l'écrire. Toute fonction continue sur un intervalle i admet des primitives sur un intervalle i. Exemple, je vous spoil un peu parce qu'on l'avait déjà vu dans la vidéo d'intro, ou dans la vidéo précédente. Par exemple, si je prends un truc très simple, alors là j'ai pris plusieurs types de primitives de x², la parabole, mais rappelez-vous par exemple, 3x plus 2 ça se dérive en 3. 3x plus 5 ça se dérive en 3. 3x moins pi ça se dérive en 3. C'est-à-dire que du point de vue de la fonction 3 constante, si je remonte et que je fais une antidérivée, une primitive, la fonction 3, elle a plein de primitives. 3x plus 2, 3x plus 5, 3x moins 7. Il y en a beaucoup. À partir du moment où j'en ai trouvé une, je peux en trouver une infinité. Je peux en trouver plein. Alors après, est-ce que c'est l'ensemble de toutes les primitives ? Peut-être qu'il y en aurait d'autres encore, des bizarres, que j'ai pas pensé. Dans tout cas, je peux déjà être sûr avec cet exemple un peu intuitif que je vous donne, qu'il y en a plus qu'une. Ça c'est sûr. Est-ce qu'il y en a d'autres ? On va regarder. C'est le théorème d'après. Le théorème d'après nous dit justement, point 1, si on a une fonction f continue sur un intervalle i. Bon, on vient de voir que dans ce cas, on sait qu'il existe une grande f, une primitive. Alors maintenant, on va pouvoir déduire. Le théorème nous dit, l'ensemble de toutes les primitives de petite f, ça va être l'ensemble des grandes f, donc la première primitive qu'on a considérée, plus k. Ça veut dire que l'ensemble de toutes les primitives, c'est en fait juste des fonctions qui sont décalées d'une constante. Donc c'est bien ce que je disais avec 3x plus 2, 3x plus 5, 3x moins 7, etc. pour la fonction 3. Mais ça répond à la question de quand je vous disais, mais peut-être qu'il y en a d'autres encore. Là, j'en ai trouvé une certaine infinité, elles sont toutes décalées, j'ai 3x plus 14, 3x moins 28, mais il pourrait y en avoir d'autres. Eh bien non. Ce théorème vous dit que non, en fait. Il vous dit qu'il y a vraiment une équivalence parfaite entre être primitive, être de la forme grande f de x plus k. Deuxième théorème, on vous dit, pour tout réel de l'ensemble des définitions de base, si je fixe une valeur de y0 quelconque, j'aurai toujours une unique primitive parmi toutes les primitives qui passe exactement par ce point. C'est ça qu'il dit ce théorème. Je vous le montre ici. Concentrez-vous sur ce petit dessin. On essaie de ne pas avoir une crise d'épilepsie, c'est vrai que ça bouge beaucoup, je suis désolé pour ça. Fixez le point ici à cette hauteur-là, 5. Fixez le point qui est sur l'axe OY d'axis 0, c'est plus facile sur le dessin, d'axis 0 et d'ordonnée 5. Combien de primitives passent par ce point ? Une seule. En effet, on vient de dire que les primitives sont des fonctions qui sont décalées d'une constante. En fait, il n'y en a qu'une seule qui passe et qui vaut F de 0 égale 5. Il n'y en a qu'une seule, peut-être G, qui vaudra G de 0 égale 4. Il n'y en a qu'une seule qui vaut H de 0 égale 8. Il n'y en a qu'une seule qui passe par un point donné à chaque fois. Si je veux le point 0 pour x0 égale 0 dans cet exemple, si je veux dire n'importe quelle valeur d'ordonnée pour cette abscisse, combien de primitives y passent ? Une seule. Ça se voit ici. C'est la conséquence directe du théorème. Par contre, on doit démontrer le théorème 1, le point 1, dans le programme. On doit le démontrer, donc on va le faire. En fait, c'est un théorème qui vous dit ensemble des primitives égale l'ensemble des F plus K. Égalité d'ensemble, ça veut dire qu'il y a équivalence. C'est-à-dire que si on a cet ensemble-là, si on a une fonction F plus K, c'est une primitive. Si on a une primitive, elle s'écrit F plus K. Pour démontrer ce genre de truc, ce qu'on doit faire, c'est faire ce qu'on appelle une démonstration par condition nécessaire et suffisante ou bien par double implication. C'est le même nom pour cette chose-là. On va dire que deux choses sont égales. On veut bien dire qu'il y en a une qui appartient à l'autre ensemble. Une primitive égale appartient bien à l'ensemble F de X plus K et les F de X plus K sont des primitives. Vous voyez qu'il y a un cas qui va être très simple, un cas qui va être plus compliqué. Commençons par le cas le plus compliqué. Je me donne une primitive quelconque qui n'est pas F. Je vais l'appeler G. Mon but, c'est de montrer que quand je pars de l'ensemble des primitives, j'arrive bien à montrer que je suis bien dans l'ensemble F de X plus K. Montrons que cette G quelconque va s'écrire F de X plus K. On part de la définition. Tout ce qu'on dit, c'est que F prime égale f, G prime égale f. Ce sont tous les deux des primitives. Par définition, elles se dérivent en f. Là, je peux jouer un peu avec. Je peux dire que, quel que soit, F prime de X égale G prime de X. Je mets tout d'un côté. Je me rends compte que G prime de X moins F prime de X égale 0 pour toute X. La dérivation, je sais que c'est linéaire. Si vous vous rappelez, la dérivée de U plus V, c'est U prime plus V prime. Quand j'écris G prime de X moins F prime de X, je peux dire que c'est G moins F prime de X. C'est la fonction G moins F qui dérive et qui vaut 0. Attendez. Une fonction qui se dérive et qui vaut 0. Je connais, c'est une constante. Je peux dire que, quel que soit X, la fonction G de X moins F de X vaut une constante K. Je remets le F de X de l'autre côté. J'ai montré que, quel que soit X, G de X, qui est une primitive quelconque, qui pouvait donc avoir n'importe quelle forme, ne peut s'écrire uniquement que de la forme, en gros, G de X égale F de X plus K. J'ai bien démontré qu'il n'y a pas d'autres primitives bizarres. Ce n'est pas possible d'en avoir d'autres. Ce n'est pas possible d'avoir d'autres primitives qui s'écriraient peut-être de 3X plus X. Un X en plus ? Non. C'est 3X plus 2, si vous voulez, par rapport à 3X. 3X moins 4. Elles sont décalées d'une constante et il n'y a pas d'autre choix. Toutes les primitives s'écrivent de la forme F de X plus K. Sens inverse. C'est un sens que les élèves n'aiment pas trop oublient parce qu'ils vont me dire que c'est débile ce truc. Bien sûr que F de X plus K, c'est une primitive. C'est une question de logique. On veut montrer que les ensembles sont égaux. Il faut bien montrer que les deux sont inclus l'un dans l'autre. Il faut faire la démonstration dans les deux sens. Ce n'est pas parce qu'il y a un sens qui est trivial, super trivial, super simple, qu'il ne faut pas le faire. Dans l'autre sens, montrons qu'une fonction qui s'écrit F de X plus une constante, est aussi une primitive. Donc soit grand G qui s'écrit de cette forme-là, grand G s'écrit F de X plus constante, C, dérivons grand G pour voir si elle est une primitive. Pour voir si elle est une primitive, il faut qu'on vérifie si, quand je la dérive, je tombe bien sur petite f. C'est ça la définition de la primitive. Je vais vérifier cette définition. Grand G prime égal grand F prime plus dérivé de grand C, une constante, c'est égal à grand F prime et c'est égal à petite f. Évidemment, on retrouve que grand G est une primitive de F. Mais il faut savoir pourquoi on le fait et comment on le fait. Grand G, forme quelconque, grand F de X plus constante. On pose bien, on l'établit bien ce point. Et ensuite, on arrive à montrer que c'est une primitive. Il faut quand même être clair sur ce qu'on fait. Vous comprenez ce que vous faites étape par étape. Vous posez une fonction du type, dans l'ensemble des grands F de X plus constante. Et je veux montrer qu'elle est dans l'ensemble des primitives. Donc j'aimerais arriver à grand G prime égal petit f. Si vous avez ces étapes en tête, ensuite c'est très simple. Il faut être très clair sur l'établissement de chacune des étapes une par une. C'est ça qui fait les démonstrations de maths et qui fait qu'elles ne sont pas toujours très simples. C'est bien d'avoir les trucs carrés en tête. Voilà, si vous avez des questions, c'est pour plus tard parce que j'ai encore un slide à faire. Il reste un petit théorème de primitives qui est en fait un tableau inverse un peu du tableau de dérivés que vous avez vu sur les dérivés genre U plus V qui se dérivent ou lambda fois U qui se dérive, ça fait lambda fois U prime. Là c'est la même chose. Quand vous avez U prime plus V prime, ça se primitive. J'ai mis A une constante près pour ne pas réécrire à chaque fois le plus K. Ça m'embête trop. Donc la primitive de U prime plus V prime, c'est U plus V. La primitive de lambda U prime, c'est lambda U. Vous avez plein qui sont reconnaissables en gros. U prime fois U puissance N, ça ressemble quand même dans le tableau de dérivés à quand on me demande de dériver U puissance N et que ça fait N U prime U N moins 1 si vous en souvenez. Donc en fait c'est pas loin de ce truc là. Il faut juste qu'on monte la puissance. Quand on primitive, on a remarqué qu'on montait la puissance. Et donc oui en fait c'est la primitive de U puissance N plus 1 ici mais il faut diviser par N plus 1. Pas se tromper ensuite, ça marche pas pour N égale moins 1. On a U prime sur U carré, ça ressemble à du 1 sur U mais il manque un signe moins donc c'est moins 1 sur U Voilà. Il faut connaître ce tableau par cœur comme l'autre tableau. C'est partie des choses un peu relou mais il faut les connaître. Et j'en ai fini donc avec cette partie là sur les théorèmes. N'hésitez pas à poser des questions dans l'FAQ à dire si vous avez des doutes ou à voir si quelqu'un n'a pas déjà répondu à votre interrogation et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Existence et Calcul des Primitives

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