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Les Primitives

Une primitive de la fonction f est une fonction qui satisfait l'équation différentielle y'=f. En d'autres termes, c'est une fonction F telle que F'=f. Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction. Par exemple, l'exponentielle est une fonction qui vérifie l'équation y'=y. Les primitives d'une fonction peuvent être trouvées en utilisant le tableau de primitives, qui est l'inverse du tableau de dérivées. Il est important de noter qu'il faut toujours ajouter une constante lors de la recherche des primitives, car la dérivée d'une constante est nulle. Certaines fonctions peuvent avoir des primitives similaires. Par exemple, les fonctions 3x+2 et 3x+4 ont la même dérivée. Une illustration des primitives de la fonction f(x)=x² est donnée, montrant les différentes fonctions qui ont la même dérivée que x². Enfin, le tableau de primitives est présenté, donnant les expressions générales des primitives pour différentes fonctions. Il est conseillé de connaître ces expressions par cœur.

Une définition très basique, des primitives, la définition officielle, il faut la connaître, c'est parti. Alors, soit f, une fonction définie sur un intervalle i réel. On va appeler primitive de la fonction f, toute fonction qui va être solution de l'équation différentielle y'égal f. Alors je sais qu'on n'a pas encore vu les équations différentielles, ça va venir dans le chapitre d'après, suivez-moi quand même. On va dire, une fonction F est primitive de f lorsque, pour toute x de l'intervalle de définition, F'x, F'x égal f'x. Voilà, définition basique. Alors le détail de ce que c'est une équation différentielle, ça sera plus tard, mais retenez l'idée générale de, c'est une équation où l'inconnu est une fonction. Donc ici par exemple, si f est fixé, mon inconnu ça va être y, et je veux une fonction qui respecte y'égal f. Voilà. Donc on veut un objet qui vérifie ça, vous en avez déjà vu en fait par le passé, quand on vous a introduit l'exponentiel en vous disant c'est la fonction, c'est une des fonctions, qui vérifie qu'elle est égale à sa dérivée. Donc pour la fonction exponentielle, je fais un petit aparté, l'équation différentielle serait donc, ok, fonction quelconque y, je veux qu'elle soit égale à sa dérivée y'. L'exponentiel vérifie y'égal y. Mais là je m'avance, on verra ça dans le chapitre d'après. Deuxième chose à savoir ultra classique, le tableau de primitive. Je vous l'ai mis ici, je ne vais pas passer une heure dessus parce que voilà, il est assez automatique, il faut le connaître, c'est un peu le tableau inverse donc de la dérivée. Il faut savoir que, donc si on vous dit fonction a, il faut savoir répondre que f2x égale ax plus k. f2x égale x, on répond x2 sur 2. Mais à chaque fois, quelque chose de très très important, je vais vous montrer le détail avec une petite illustration dans une seconde, à chaque fois il faudra ajouter plus k. En effet la dérivée de k, qui est une constante, est nulle. Ça veut dire qu'en fait quand je dérive ax plus 1, ou ax plus 2, ou ax moins pi, si vous voulez, n'importe quelle constante possible, je vais toujours trouver a. Donc il ne faut pas oublier quand on veut décrire l'ensemble des primitifs possibles, qu'il y a toujours une constante. C'est toujours a une constante près. Beaucoup de fonctions partagent les mêmes dérivées. Encore une fois, un exemple simple, c'est 3x plus 2 et 3x plus 4 ont la même dérivée. Donc quand on vous demande l'ensemble des primitifs, c'est ça qu'on veut dire. N'oubliez pas la constante. Il y a des fonctions plus complexes ensuite par la suite, mais j'ai envie de vous montrer une petite illustration. Ici, là comme vous voyez, j'ai la fonction x², qui est ma fonction f, et ma fonction F, une fonction F, ça va être x3. Alors en fait, ce n'est pas vraiment x3, si on est honnête, c'est x3 sur 3. Donc là, j'ai x3 sur 3 en bleu et x² en rouge. On peut vérifier que x² est bien là. Est-ce que ça a du sens de dire que x² est bien la dérivée de la bleue là ? Que la rouge est bien la dérivée de la bleue ? Regardons, donc avant 0, pour les nombres négatifs, la dérivée, donc la rouge, est positive. La fonction bleue est croissante, très bien. Après, au niveau de R+, ici, quand on est entre 0, 2, 4, etc. La rouge est aussi positive, donc en fait elle est tout le temps positive, et la bleue est aussi croissante. Ok, ça a l'air d'avoir du sens. Mais donc ça, c'est une dérivée. Pardon, je me suis trompé. Ça, c'est une primitive. La bleue, c'est une primitive parmi l'ensemble des primitives possibles, qui lui va ressembler à ça. Il y a 7 fonctions. 7 fonctions. Ces fonctions-là. Toutes ces fonctions-là. Là, tout ce que je vous trace, donc je suis un peu le malin à vous tracer plein de fonctions comme ça, tout ce que je vous trace, ce sont les fonctions x3 sur 3, plus 1, x3 sur 3, plus 2, x3 sur 3, moins 1, moins 2, vire 6, x3 sur 3, plus racine de 2, etc. Toutes celles qui sont en gros la même, mais translatées vers le haut ou vers le bas. Donc ça, c'est l'infinité des fonctions qui ont la même valeur dérivée. Pour finir, donc, la fin de ce tableau. La fin de ce tableau... Attendez, ça c'est pas très propre. La fin de ce tableau de primitives, vous voyez qu'il faut juste les connaître par cœur, c'est assez pratique de bien les connaître. x puissance n, ça devient x puissance n plus 1 sur n plus 1, toujours plus k. Vous avez la suite ici, je vous conseille de les connaître vraiment par cœur. Le 1 sur x puissance n pour n différent de 1 est important. Quand n égale 1, c'est le log. Et vous avez toutes celles que vous avez apprises, mais maintenant, vu dans l'autre sens. Je vous dis à la prochaine, n'hésitez pas à poser une question si vous avez un doute sur quelque chose. La FAQ est toujours là pour ça. Et je vous dis à la prochaine !

Primitive : Définition

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