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Équation y'=ay
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre une équation différentielle de premier ordre à coefficient constant. Plus précisément, nous allons nous concentrer sur les équations du type y' = y, sans termes de second ordre, et avec des coefficients constants.
Nous commençons par étudier l'équation différentielle donnée : 3y' = 2y. Nous divisons les deux côtés par 3 pour obtenir une forme du type y' = 2/3y. Ainsi, nous avons une équation de la forme y' = y, avec a égal à 2/3. En utilisant nos connaissances précédentes sur les équations de ce type, nous savons que les solutions sont de la forme k * e^(ax), où k est une constante réelle et e est la base du logarithme naturel. Dans notre cas, les solutions sont donc k * e^(2/3x), avec k appartenant à R réel.
Ensuite, on nous demande de tracer les courbes représentant ces solutions. Ce qui varie ici, c'est la valeur de k, notre constante multiplicatrice. J'ai réalisé quelques exemples en prenant différentes valeurs pour k, allant de 0,25 à 3. Nous observons que plus k augmente, plus la courbe associée "décolle" et s'éloigne de l'axe des x. Il s'agit d'une exponentielle avec une constante multiplicatrice. Toutes ces courbes ont une allure similaire, appartenant à la même famille.
Ensuite, on nous demande de déterminer parmi ces courbes celle qui vérifie f(1) = e. Dans les équations différentielles, lorsque nous avons une condition particulière, il existe une unique solution qui satisfait à la fois l'équation différentielle et cette condition particulière. Ici, nous voulons trouver la constante multiplicatrice k en utilisant la condition f(1) = e.
Nous supposons que f(x) est de la forme de notre solution, c'est-à-dire k * e^(2/3x). Pour vérifier la condition en x = 1, nous remplaçons x par 1 et obtenons k * e^(2/3). Nous avons alors une simple équation en k que nous résolvons, ce qui donne k = e * e^(-2/3), soit e^(1/3). Ainsi, notre solution finale est f(x) = e^(1/3) * e^(2/3x).
Ceci est une méthode très courante et classique pour résoudre une équation différentielle du type y' = y avec une condition initiale. Si vous avez des questions supplémentaires, veuillez consulter la FAQ.
