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Équation y'=ay+b
Aujourd'hui, nous allons nous intéresser à la résolution des équations différentielles du premier ordre avec un second membre, c'est-à-dire les équations de la forme y' = y + b. La méthode est assez simple : nous commençons par chercher une solution constante, que nous appelons la solution particulière. Ensuite, nous résolvons l'équation homogène, qui est y' = y. Enfin, nous combinons ces deux solutions pour obtenir la solution générale.
Prenons l'exemple de l'équation y' = -y + 3, où a = -1 et b = 3. Nous résolvons d'abord l'équation homogène y' = -y, dont les solutions sont de la forme y(x) = ae^(-x), où a est une constante réelle. Ensuite, nous recherchons une solution particulière constante, en supposant que sa dérivée est nulle. En injectant cette solution dans l'équation, nous trouvons que phi = 3. Enfin, nous combinons ces deux solutions pour obtenir la forme générale de la solution y(x) = e^(-x) + 3a, où a est une constante multiplicative inconnue.
Il est important de noter qu'il y a toujours une constante multiplicative dans la solution générale. Parfois, pour déterminer sa valeur, nous avons besoin d'une condition particulière, par exemple y(alpha) = beta. Dans ce cas, il y aura une unique solution qui vérifiera cette condition particulière.
Voilà comment résoudre une équation différentielle du premier ordre de la forme y' = y + b. N'hésitez pas à poser vos questions dans la description.
