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Équation y'=ay+φ
La différence entre b et phi dans l'équation différentielle y' = y + phi est que b est une constante tandis que phi est une fonction qui peut varier.
La méthode pour résoudre cette équation est la même que pour l'équation y' = y + b. On cherche d'abord une solution particulière en résolvant l'équation sans l'équation homogène, c'est-à-dire en résolvant y' = y. Ensuite, on trouve la solution particulière en utilisant un indice donné dans l'énoncé.
Dans l'énoncé, on nous demande de vérifier si la fonction p(x) est une solution de l'équation p'(x) = x^2 + 2x - 1. Pour cela, on prend p(x) comme un polynôme et on calcule sa dérivée. Ensuite, on vérifie si 2p'(x) + 6p(x) = x^2 + 2x - 1. Si c'est le cas, on conclut que p(x) est une solution de l'équation.
Ensuite, on nous demande de montrer que si f(x) est une solution de l'équation y' = y + phi, alors f(x) - p(x) est une solution de l'équation y' = y. Pour cela, on remplace phi par p(x) dans l'équation y' = y + phi, ce qui nous donne 2f'(x) - 2p'(x) + 6f(x) - 6p(x) = 0. En factorisant, on obtient 2(f(x) - p(x)) - 2p'(x) + 6(f(x) - p(x)) - 6p(x) = 0. On reconnaît alors l'équation y' = y et on conclut que f(x) - p(x) est une solution de cette équation.
Grâce à cette équivalence, on peut en déduire les solutions de l'équation y' = y + phi en résolvant l'équation y' = y. On trouve que les solutions sont de la forme f(x) - p(x), où f(x) - p(x) = A * e^(-3x) et A est un réel.
Il est important de noter qu'il y a toujours une constante multiplicative inconnue dans les solutions des équations différentielles de ce type. Pour la trouver, on a besoin de conditions particulières qui ne sont pas données dans cet exemple.
