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Les équations différentielles d’ordre 1

Les équations différentielles sont un concept essentiel en ingénierie. Pour résoudre une équation du premier ordre du type Y' + Ay = Φ(X), la solution se compose de deux parties. La première partie est la solution générale sans second membre, c'est-à-dire la solution de Y' + Ay = 0, en général un terme exponentiel. La deuxième partie est une solution particulière qui vérifie l'équation avec Φ(X). Pour trouver cette solution particulière, on observe la nature de Φ(X) et on tente une fonction qui lui ressemble. Cela fonctionne dans la plupart des cas, sinon il faut complexifier la fonction. Si Φ(X) est une somme de termes, on peut séparer l'équation en problèmes distincts. En résolvant l'équation donnée, avec Φ(X) = e^(2X), on trouve une solution particulière qui est 1/5 * e^(2X). La solution générale est donc Y = K * e^(2X) + 1/5 * e^(2X), où K est une constante réelle. En fixant Y(0) = 1, on trouve K = 4/5, donc la solution finale est Y = (8/5) * e^(2X) + (1/5) * e^(2X).

Là, on passe à les équations différentielles. Les équations différentielles, c'est un truc qui est vachement important et que vous allez bouffer dès que vous faites des études d'ingénieur. Le concept général, c'est pour une équation du premier ordre, donc avec que du Y', quand vous avez quelque chose du type Y' plus Ay égale Phi de X, une fonction quelconque, la solution, c'est toujours une solution en deux parties. La première partie, je l'appelle SSM comme sans second membre, c'est-à-dire la solution comme s'il n'y avait pas de second membre, c'est-à-dire le truc à droite. On fait une cumulation, une somme de la solution de Y' plus Ay égale 0, en gros c'est exponentiel de moins à X, il ne faut pas chercher loin, plus une solution particulière. Une solution particulière, c'est une fonction qu'on repère un peu à l'œil, en général, il y aura des techniques pour les trouver quand c'est vraiment très complexe dans le supérieur, mais en général, là, en terminale, c'est plutôt à l'œil, une solution qui vérifie ça, qui vérifie l'équation en général avec l'écriture Phi de X. L'astuce, la méthode, c'est en fait de regarder qu'est-ce que c'est Phi de X, quelle est la nature de Phi de X. Si Phi de X est une fonction X2, en général, dans 90% des cas, la solution à l'équation, ce sera une fonction en X carré. Vous posez par exemple AX carré plus BX plus C, puis vous vérifiez, en mettant cette expression là-dedans, si vous n'avez pas des ABC qui fonctionnent. Si par exemple, vous avez un Phi qui est carré, et vous mettez un carré et ça ne marche pas, alors il faut complexifier un peu plus, peut-être tenter une fonction cube. Mais en gros, l'idée c'est ça, si vous avez un Phi de X qui est par exemple exponentiel 8X, par exemple, une fonction exponentielle, tout de suite, il faut tenter comme solution particulière de l'équation, une équation grand B fois exponentielle 8X. Un truc de la famille 2, donc de la famille de Phi, ça veut dire, si c'est une fonction du second degré, vous mettez AX2 plus BX plus C, si c'est exponentiel 7X, vous mettez grand K fois exponentiel 7X, vous tentez un truc qui s'approche de la forme de Phi de X. Ça, ça marchera systématiquement. Si ça ne marche pas, enfin, ça marchera dans 90% des cas. Si ça ne marche pas, vous complexifiez. Par exemple, si vous avez une exponentielle 8X, et quand vous mettez B exponentielle 8X, genre B, vous vous rendez compte après les calculs que par exemple, si ça marche, ça pourrait être B égale 3 qui fonctionne. Si vous voyez qu'il n'y a aucun B tel que ça fonctionne, il faut complexifier. Comment on fait ? C'est un peu pareil, quand je vous dis qu'il faut monter le degré, vous faites AX plus B fois E de 8X. L'idée c'est qu'il faut toujours complexifier un peu plus notre pêche un peu, enfin on peut pêcher au hasard, notre pêche de solution particulière. Voilà, ça c'est l'idée générale pour les exercices les plus poussés, avec des fonctions de ce type. En bonus, l'idée c'est que des fois quand vous avez Phi de X, mais qui s'écrit comme une somme, si vous avez par exemple deux termes, vous avez ici, je ne sais pas, si on vous dit X carré plus log de X, en fait, pas de panique, on peut séparer tout ça en plusieurs morceaux. On peut dire que la solution, ça va être la solution sans commande, comme s'il y avait 0 ici, une solution particulière 1 qui est associée au problème Y prime plus Y, il y a le Phi de 1, comme si Phi 2 n'était pas là, et une solution associée à Phi 2, comme si Phi 1 n'était pas là. On peut faire, on appelle ça le principe de superposition, on peut séparer en différents problèmes. Pour l'instant on vous dit, on a Y prime plus 3Y, donc on va commencer l'exo, et il y a le E de 2X. On vous dit, cherchez une solution particulière de la forme A E de 2X. Et donc ça correspond exactement à la philosophie, ce que je vous disais pour le concept général. Là on vous le dit sans vous l'expliquer vraiment, mais l'idée c'est, je repère E de 2X, je cherche une solution particulière, moi je vais pouvoir écrire direct que, donc pour P, si P2X égale une constante générique E de 2X, alors vérifions combien vaut P prime plus 3P. Si et seulement si, A égale 1 cinquième. Donc il en existe une, en l'occurrence 1 cinquième, qui fonctionne. Donc on dit, donc P2X égale 1 cinquième de E de 2X. On a trouvé la fonction de type E de 2X à une constante prime, qui fonctionne pour cette équation-là, cette équation différentielle. On peut revérifier, si je mets là-dedans, 1 cinquième de E de 2X, donc ça fait, quand je dérive 2 cinquièmes de E de 2X, ça fait 1 cinquième fois 2, plus 3 fois 1 cinquième, donc 3 cinquièmes de E de 2X. Ça fait bien 1 fois E de 2X, ça vérifie donc l'équation. Maintenant on me dit, résoudre l'équation en général. On a dit, c'était l'équation comme ça, c'était toujours la somme de l'équation, de l'équation sans seconde membre, de la solution de l'équation sans seconde membre et de la solution particulière. Pour tout K appartient à R. Voilà l'ensemble des solutions qui existent. Petit 3, on me dit, on veut en fixer une seule. Bon ben, Y de 0 égale 1, si et seulement si. On va y faire K fois E de 0 plus 1 cinquième fois E de 0 égale 1, si et seulement si. K égale 1 moins 1 cinquième égale 4 cinquièmes. Dans ce cas-là, Y égale 2X, 4 cinquièmes de E de moins 3X plus 1 cinquième de 2X. Bon, il n'était pas très compliqué, celui-là c'est plus une révision sur les équations différentielles.

Second membre en exponentielle

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