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Les équations différentielles d’ordre 1

Dans cette vidéo, nous résolvons une équation différentielle sur deux intervalles différents : moins l'infini à 0 et 0 à plus l'infini. L'équation est de la forme |x*y'| + (x-1)y = x^3. 
Sur l'intervalle moins l'infini à 0, nous décomposons l'expression en utilisant la valeur absolue de x, qui est égale à -x. Nous simplifions ainsi l'équation pour obtenir y' + (1-x/x)y = -x^2. En résolvant cette équation homogène, nous trouvons que la solution homogène est y = Ae^x/x, où A est une constante réelle. Ensuite, nous cherchons une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante. En intégrant l'expression x^3e^(-x), nous trouvons que la solution particulière est y = (x^2 + 3x + 6 + 6/x)e^x/x. Ainsi, l'ensemble des solutions sur l'intervalle moins l'infini à 0 est l'ensemble des fonctions de la forme y = (Ae^x/x) + (x^2 + 3x + 6 + 6/x)e^x/x, où A est une constante réelle.
Sur l'intervalle 0 à plus l'infini, l'équation différentielle est différente : y' + (x-1/x)y = x^2. La solution homogène est y = Axe^(-x), où A est une constante réelle. En utilisant la variation de la constante, nous trouvons que la solution particulière est y = (x-1)e^x * x. Ainsi, l'ensemble des solutions sur l'intervalle 0 à plus l'infini est l'ensemble des fonctions de la forme y = Axe^(-x) + (x-1)e^x * x, où A est une constante réelle.
En conclusion, il est important de faire attention aux intervalles de résolution demandés, car cela peut influencer les solutions de l'équation différentielle.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio et dans cette vidéo on va résoudre une équation différentielle sur deux intervalles différents. Alors on demande de résoudre sur moins l'infini 0 et sur 0 plus infini l'équation différentielle valeur absolue de x y prime plus x moins 1 y est égale à x cube. C'est parti, on commence par la résolution sur moins l'infini 0, à ce moment là vous l'aurez compris le seul problème qu'il y a à regarder c'est par rapport à la valeur absolue de x. Et bien la valeur absolue de x sur moins l'infini 0 elle vaut moins x. En effet la valeur absolue de moins 1 c'est bien moins moins 1. Alors à ce moment là on simplifie l'expression, on normalise. L'équation e à résoudre c'est bien sûr y prime plus 1 moins x sur x y est égal à moins x carré. Et là c'est parti pour la méthode de résolution classique qui commence par la recherche de l'équation de la solution homogène. Alors l'équation homogène c'est y prime plus 1 moins x sur x y est égal à 0. Là on se rend compte que c'est un polynôme, enfin une fraction de polynôme du même ordre. Donc ce qu'on fait c'est qu'on utilise les plus moins au départ pour séparer en deux et puis après on a les méthodes de primitives classiques. Alors 1 moins x sur x c'est égal, on fait du moins 1 plus 1 pour obtenir 1 sur x moins 1. Enfin ici on a même juste à séparer en deux. Et ça admet comme une primitive x a ceci, ln de moins x, attention vu que x est négatif ici, si on se rappelle c'est ln de valeur absolue de x, hors valeur absolue de x, on l'a dit, c'est moins x. C'est pour ça que moi vraiment quand je regarde ça des fois ça me fout le... il y a un réflexe, un frisson qui passe mais il n'y a pas de souci, x ici est négatif. Donc la solution homogène c'est la solution qui a x à ceci, moins a sur x exponentielle x avec a, un réel. On passe à la solution particulière. Alors la variation de la constante elle nous dit quoi ? Ici on considère a comme une fonction du x et puis on dérive pour obtenir ys'. Finalement en sommant les deux de cette manière on trouve que ys est solution de E si et seulement si a prime de x c'est égal à x cube exponentielle moins x. Alors là on est un peu embêté vu qu'il va falloir primitiver tout ça. Bon la bonne nouvelle c'est qu'on sait comment faire pour primitiver ceci, ça fait partie du chapitre intégral, calcul de primitives, puisque c'est un polynôme de x devant une exponentielle. Donc on sait que c'est à grand coup de théorème fondamental de l'analyse et d'intégration par partie, mais bon, on n'a quand même pas très envie de le faire vu qu'on sait qu'on va devoir le faire trois fois, vu que c'est un x à la puissance 3. Alors on prend son courage le demain et puis c'est parti. On a changé de problème maintenant, il faut déterminer une primitive de x associée x cube exponentielle moins x et on sait d'après le théorème fondamental de l'analyse que c'est l'intégrale de 0 à x de t cube exponentielle moins t dt. Et là c'est parti, on fait une première IPP pour faire descendre le coefficient à 2, une deuxième pour le faire descendre à 1 et une dernière pour le faire descendre à 0 et ça y est on sait évaluer l'intégrale suivante. Donc je vous passe les détails pour faire toutes les IPP. Et au bilan, une primitive de x associée x cube exponentielle moins x c'est x associée moins x cube exponentielle moins x moins 3 x 2 exponentielle moins x moins 6 x exponentielle moins x moins 6 exponentielle moins x. Voilà, donc y est solution, on reprend, si et seulement si a de x est égal à ceci. Maintenant la solution particulière c'est a de x fois exponentielle, alors si on reprend, c'est a de x divisé par x moins exponentielle x. Donc x fois moins exponentielle x. Et donc finalement une solution particulière c'est ys qui a x associé x2 plus 3x plus 6 plus 6 divisé par x. Ok, maintenant l'ensemble des solutions de E sur moins infini 0, c'est l'ensemble des fonctions qui a x associé a suix exponentielle x plus x2 plus 3x plus 6 plus 6 sur x, a étant un réel. On a résolu sur moins l'infini 0. On s'attaque au deuxième. Alors sur 0 plus infini, pardon j'ai oublié de changer, sur 0 plus infini, la valeur absolue de x c'est x, donc en divisant on obtient y prime plus x moins 1 sur x, y est égal à x2. Alors là on voit directement que la résolution va changer, puisqu'on parle plus de la même équation. Alors la solution homogène, eh bien on obtient comme primitive du facteur devant u y, x moins ln de x. Donc la solution homogène c'est x associé à x exponentielle moins x, a étant un réel. Et hop, là c'est direct pas la même résolution. Pour la solution particulière, la variation de la constante, elle nous donne que a prime de x, pour que y récresse aux solutions de E, elle doit être égale à x exponentielle x. Et donc à ce moment là, via les méthodes classiques de la même manière dans le chapitre intégral, c'est exactement la même chose, c'est via intégration par partie, eh bien on trouve que a de x est égal à x moins 1 exponentielle x plus une constante. Donc en posant la constante égale à 0. Une solution particulière, c'est donc ys qui a x associé, alors on a x moins 1 exponentielle x fois x exponentielle moins x, donc finalement x moins 1 fois x, a étant un réel. Donc la conclusion que l'on doit tirer de cet exercice, c'est qu'il faut faire attention aux intervalles de résolution qu'on nous demande. Effectivement, si on regarde la forme de l'ensemble des solutions sur 0 plus infini et sur moins l'infini 0, ça n'a rien à voir. Donc il faut faire bien l'attention à ça. Ça paraît un peu anodin quand on résout une équation différentielle, parfois on n'y prête pas forcément attention, mais là c'est la démonstration claire que ça peut tout chambouler lorsque l'on considère l'un ou l'autre. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis moi je vous dis à bientôt.

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