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Divisibilité et Congruences

Exercice de congruence - Comprendre la méthode pour trouver le reste de 145 puissance 2022 dans la division par 7. Le professeur explique qu'il faut simplifier d'abord le nombre en utilisant la congruence, et ensuite étudier les différentes puissances de 5 pour trouver un cycle de restes. Il utilise la règle des puissances pour montrer qu'il y a bien un cycle qui se répète toutes les 6 puissances, et que cela permet de déterminer le reste pour toutes les puissances. Il explique également comment diviser les entiers en différentes familles en fonction de leur reste dans la division euclidienne, et comment trouver le reste de n'importe quelle puissance en fonction de sa congruence modulo 6. Finalement, il conclut que 145 puissance 2022 est congru à 1. Il souligne l'importance de bien comprendre cette méthode pour résoudre d'autres exercices de congruence et d'arithmétique, et invite les auditeurs à poser des questions s'ils en ont besoin.

Bienvenue dans cet exercice de congruence. Ici je vous présente quelque chose qui est un ultra classique. Ça a été un classique du bac quand moi j'ai passé le bac en 2007 maintenant. Ultra classique, il fait un peu peur. On vous parle d'un nombre un peu horrible donc 145 puissance 2022 et on vous dit il faut en gros trouver le reste dans la division qui vienne par 7 de 145 puissance 2022. Je pense qu'il est clé cet exercice, il faut vraiment le comprendre et le connaître parce la petite méthode qui est appliquée est ultra utile pour beaucoup d'exos de congruence et d'arithmétique. Donc c'est impressionnant, c'est fait exprès. On vous met un 2022 ou au bac vous aurez peut-être un 2023, 2024, 2025 selon l'année. Mais ce n'est pas bien méchant. Il faut par contre être dans une optique de process. Vous savez qu'il y a une méthode spécifique, une manière d'attaquer, il faut y aller, la faire. C'est cette structure et cette conviction qu'il y a un process qui fonctionne qui va vous aider. Toujours la même étape, on va d'abord commencer tout bêtement par simplifier le 145. On va ignorer au début la puissance 2022, on va voir ce que ça donne 145 modulo 7. Ensuite on va comprendre un petit peu s'il n'y a pas un cycle de puissance. Donc on va étudier, avant d'étudier 145 puissance 2022, on va étudier 145 puissance N. On va essayer de comprendre en fait quel est le comportement des différentes puissances et on va toujours se rendre compte, dans ce genre d'exercice, on va toujours se rendre compte qu'il y a un genre de cycle. C'est à dire que toutes les cinq puissances peut-être, on a le même genre de truc qui se répète, le même genre de reste qui revient. Peut-être que 145 puissance 2 c'est un reste 3, 145 puissance 3 c'est un reste 4, et ensuite on recommence. Peut-être que ça fera des restes comme ça, on aura des restes qui seront peut-être 2, 3, 2, 3, 2, 3, à chaque fois qu'on augmente d'une puissance. Voilà. Il y a peut-être, il y a toujours un cycle comme ça, il faut voir lequel c'est. Et à la fin il faudra dire ok j'ai compris la règle générale pour 145 puissance N, ou même pas 145 mais quelque chose de plus simple, bon bah maintenant c'est plus N qui m'intéresse, c'est 2022. Donc 2022 je suis là pour faire peur mais je pourrais mettre 17825, ça ne changera rien. Ce qu'il faut c'est comprendre en général comment se comportent 145 puissance N, et ensuite on est bon. Il faut que vous compreniez, ça c'est du court pour moi, comprenez qu'il y a toujours un cycle de restes. Voilà, répétitif et etc. Donc je vous montre 145, premier truc qu'on fait, donc ça c'est de l'aisance des congruents, je vous conseille de vous entraîner à faire des petits exos, parce que vous entraînez à vous dire bon allez hop c'est quoi avec les congruents le reste de tel gros nombre par tel nombre, parce que plus vous aurez de l'aisance avec les petites règles, plus vous serez efficace. Donc là par exemple 145, modulo 7, je sais que je peux enlever autant de paquets de 7 que je veux, 140 c'est clairement 14 fois 10, donc ça c'est du multiple de 7, ça dégage. Il reste 5, je trouve tout de suite le reste. Ça veut dire, donc j'ai enlevé autant de paquets de 7 que je voulais, ça veut dire qu'en fait j'ai une règle des congruences qui me dit AA congruent AB implique A puissance N congruent AB puissance N. Alors attention il n'y a pas de réciproque, mais donc tout de suite je me dis ben 145 puissance N c'est congruent à 5 puissance N. J'utilise le fait que 5 est beaucoup plus simple que 145, je reviendrai à 145 à la fin pour la conclusion. Donc maintenant la question c'est étudions à quoi est congruent 5 puissance N. C'est ce que je disais tout à l'heure, on va étudier l'ensemble des différentes puissances de 5 et se rendre compte qu'il y a peut-être un cycle. Comment on calcule ce cycle ? En fait on commence par le début, 5 puissance 1. Le début est très simple et mon but c'est d'arriver à 5 puissance quelque chose congruent à 1. Vous allez voir on va finir par y arriver, enfin il y a une chance qu'on y arrive en tout cas, on va regarder ça ensemble. Donc 5 puissance 1 c'est congruent à 5 modulo 7. 5 puissance 2 c'est 25, je peux enlever 21 et il reste 4. 5 puissance 3 qu'est ce que je fais ? Est-ce que je calcule 5 puissance 3 ? Non, j'utilise les lignes d'avant. 5 puissance 1 fois 5 puissance 2, je sais que je peux multiplier les lignes de congruence pour peu qu'on ait le même modulo. Donc je dis que 5 puissance 3 c'est congruent à 5 puissance 1, 5 puissance 2, parce que 5 puissance 3 c'est égal à 5 puissance 1 fois 5 puissance 2, et donc là je peux remplacer celui-là par 5, celui-là par 4, donc c'est 20. Donc je peux enlever 14, c'est congruent à 6. Assez curieusement pour la suite, je me dis oui mais c'est aussi congruent à moins 1. Ça c'est un petit bonus, astuce à retenir. Je continue, 5 puissance 4 c'est celui-ci au carré, donc c'est congruent à 16, donc congruent à 2, j'enlève 14. Je fais la même chose ici, ça c'est 5 puissance 4, 5 puissance 1, je trouve 3. 5 puissance 6 c'est le carré de celui-là, c'est intéressant parce que j'avais moins 1 et je sais d'avance quand je vois ce moins 1 que le carré de ça sera congruent à 1. C'est pour accélérer de quelques secondes. Donc c'est cool, je me suis rendu compte qu'au bout de 1, 2, 3, 4, 5, 6 puissances, j'ai bien trouvé quelque chose congruent à 1. Maintenant toute l'astuce, la solution de cette petite méthode qu'il faut bien connaître, c'est d'utiliser la règle des puissances. Je peux dire à partir de ça qu'on a un cycle. J'utilise cette règle dont je parlais il y a une seconde. Je mets à la puissance k de chaque côté et c'est pour ça qu'on attendait le 1. Comme je vous disais tout à l'heure, vous devez vous demander mais pourquoi est-ce qu'il me dit qu'on cherche un 1 ? Parce que quand je mets à la puissance n'importe quoi 1, ça reste 1 et c'est comme ça que je vais pouvoir voir mon cycle apparaître. Je vous montre, 5 puissance 6k c'est congruent à 1 puissance k donc congruent à 1. Maintenant je comprends que 5 puissance 6k plus 1 c'est donc congruent à 5 et en fait je retrouve exactement le cycle de tout à l'heure. C'est-à-dire que 1, la prochaine c'est 5, puis 4, puis 6, puis 2, puis 3. Et je retrouve ici 1, 5, 4, 6, 2, 3. Chaque fois je fais x5, là c'est x5, entre là et là il y a x5² si vous voulez. Je retrouve un peu ce que j'avais fait pour 5, 5², 5³, 5 puissance 4, etc. Donc je retrouve les mêmes restes ici. C'est là que je comprends que j'ai une famille de restes qui vont venir en cycle, selon la nature de la puissance, avoir toujours les mêmes réponses. Donc on peut écrire ça sous la forme d'une table de congruence, c'est beaucoup plus élégant. Un truc que je vais vous rappeler qui est très important, c'est bien comprendre, je vais dézoomer un petit peu, bien comprendre ici qu'en fait, quand j'étudie 5 puissance 6k et que j'arrive à 6k plus 5, j'ai en fait couvert l'ensemble des antinaturels. C'est-à-dire, je peux diviser les antinaturels, donc c'est 0, 1, 2, 3, 4, 5, en deux familles. Les paires d'un côté, les impaires de l'autre. Donc 0, 2, 4, puis 1, 3, 5. Donc j'ai les 2k, si vous voulez, et les 2k plus 1. C'est vrai. Je peux faire la même chose avec les multiples de 3, oui. Ensuite ceux qui en restent 1 dans la division par 3, euclidienne, 3k plus 1, et ceux qui en restent 2, 3k plus 2. Donc je peux dire, ok, je peux voir l'ensemble des entiers comme d'abord ceux multiples de 3, ceux où il reste 1, ceux où il reste 2. Et en fait je peux faire ça pour n'importe quel nombre. Et si j'arrive à le faire pour n'importe quel nombre, ça veut dire qu'ici, quand j'ai 5 puissance 6k jusqu'à 5 puissance 6k plus 5, j'ai bien étudié l'ensemble des entiers. Parce que n'importe quel entier va s'écrire toujours soit 6k, soit 6k plus 1, etc., soit 6k plus 5. De la même manière qu'ils peuvent s'écrire soit 2k, soit 2k plus 1. Donc en fait quand je suis arrivé à 5 puissance 6k plus 1, je suis content. Congrué à 1, pardon. Je suis content parce que je sais que je vais pouvoir répondre pour tous les types de puissance. Il faudra juste déterminer, ben, ma puissance, est-ce que c'est un multiple de 6, est-ce que c'est quelque chose qui est congrué à 1 modulo 6, congrué à 2 modulo 6, ou est-ce que c'est un 6k plus 5, congrué à 5 modulo 6. Et ben c'est fini. Ça a l'air qu'on a fini. On fait le résumé ici, on comprend que si n vaut 6k ou 6k plus 1, 6k plus 2, etc., j'ai l'ensemble des réponses, voilà à quoi est congrue 5 puissance n dans chacun de ces cas. On a en tête, ça c'est un peu vu dans le supérieur, on vous le dit cette année, vous le verrez dans le supérieur peut-être si vous allez dans le supérieur faire des maths, on détaillera ça un peu plus. Mais vous avez compris qu'en gros il y a toutes les familles, enfin il y a tous les ensembles de n possibles, il n'y en a pas d'autres. Tous les entiers peuvent s'écrire là, il n'en manque pas, il y a les entiers qui sont comme ça, ceux qui sont comme ça. Chaque entier rentre dans une de ces 6 cases. Et donc j'ai une réponse pour chacun. Quelle est ma conclusion ? Ben, moi j'avais 5 puissance, enfin 145 puissance 2022, congrue à 5 puissance 2022. Moi c'est 2022 qui m'intéresse. C'est n égale 2022, donc qu'est-ce que je dois dire ? 2022, est-ce que c'est quelque chose qui est ici, ici, ou ici, ou ici, ou ici, ou ici ? Ce sera ça la conclusion de mon exercice. Donc au début j'ai simplifié les 145, je me focus sur les 5, je trouve un petit cycle qui me permet ensuite d'établir, pour l'ensemble des antinaturels, ce que va être le reste dans la division Euclidienne, et ensuite j'ai plus qu'à me dire, attends, c'est cool cette grande généralité, mais ce n'est pas le tout, moi je cherchais 5 puissance 2022. Donc comprendre, qu'est-ce que c'est 2022, est-ce qu'il est dans une case ici ou dans une case ici ? 2022 c'est très facile, il est pair, il est divisible par 3 parce que ça, la somme des 3, la somme des 4 chiffres fait 6, ben donc 2022 est divisible par 6. Je fais rapidement, mais voilà. Donc 2022 c'est 1, 6 cas, c'est une puissance qui est dans cette case là. Et donc je peux conclure que 145 puissance 2022 est congrue à 5 puissance 2022 qui lui-même est congrue à, réponse dans la table, 1. Voilà, c'était une vidéo un peu plus longue que ce que je fais, ce qu'on essaie de faire d'habitude, mais je voulais vous montrer ça parce que c'est vraiment clé, clé, clé, très très important, bien comprendre ça en profondeur, savoir le réutiliser, et là vous êtes vraiment, je pense que vous avez acquis beaucoup beaucoup de savoir sur les congruences. Voilà, en tout cas posez des questions en commentaire s'il y a besoin, et je vous retrouve pour le reste du chapitre. Bye bye.

CAPITAL : Reste de 145²⁰²² par 7 ?

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