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Algèbre

Divisibilité et Congruences

La fraction 35/(n-4) sera entière pour quelles valeurs de n (différentes de 4) ? Nous devons prendre en compte que n est un entier relatif. 

Pour résoudre ce problème, nous devons étudier les diviseurs de 35. Les diviseurs de 35 sont 1, 5, 7 et 35. Il y a aussi les diviseurs négatifs comme -35, -7, -5 et -1. 

Maintenant, nous devons vérifier si n-4 appartient à cet ensemble de diviseurs de 35. Donc nous devons vérifier si n-4 est égal à 1, 5 ou 7. 

Cela signifie que n peut prendre les valeurs suivantes : 5+4=9, 1+4=5, 7+4=11 pour les premiers diviseurs. Et -3+4=1, -1+4=3, -7+4=-3, -35+4=-31 pour les diviseurs négatifs. 

Il ne faut pas inclure 4 dans les solutions car la question spécifie que n est différent de 4. 

Donc les valeurs entières de n pour lesquelles la fraction sera entière sont 9, 5, 11, 3, -3, -1 et -31. 

J'espère que cela vous a aidé et à bientôt pour une prochaine vidéo.

Un exercice assez court mais assez classique, ce genre de petites questions que vous pouvez retrouver potentiellement dans un DS, qu'il faut savoir faire. Donc on vous donne un entier n relatif, différents de 4, pour quelle, potentiellement au pluriel, valeur de n, la fraction 35 sur n-4 va-t-elle être entière ? Le piège absolu, parce que la question en soi n'est pas très difficile, le piège, là où on peut démonter 50% des élèves et leur mettre potentiellement un 0, c'est que n est un entier relatif. Quand est-ce que la fraction est-elle entière ? Encore une fois, on ne dit pas entière positive ou entière naturelle, on parle d'entier relatif. Donc pour moi, tout ça, c'est plus une petite vidéo pour vous avertir de ce problème, vous avertir de ce piège potentiel. Attention, on est dans Z, c'est là-dessus que je vois des élèves se planter et perdre des points. Donc nous, ce qu'on veut, maintenant qu'on est bien conscient de dire attention, c'est relatif, donc établir la nature de la variable, est-ce naturelle ou relative, on veut n-4 divise 35. Dans ce cas, étudions les diviseurs de 35. J'appelle grand D un 10-35, l'ensemble des diviseurs de 35. Il y a donc 1, 5, 7, 35. Bon, il y a aussi moins 35, moins 7, moins 5, moins 1. Remarquez que je ne me suis pas pris la tête pour les négatifs, j'ai pensé aux positifs et puis j'ai écrit la liste ensuite. Maintenant, c'est fini. Maintenant que je n'ai pas oublié ça, c'est bon pour l'exercice. Tout ce qu'il faut, c'est toujours vérifier qu'à la toute fin, comme n est différent de 4, je n'inclue pas dans les réponses 4, ça serait une erreur, puis on sera bon. Si n-4 appartient à l'ensemble des diviseurs de 35, appartient à ça, c'est-à-dire que n-4 doit être égal à 1, n-4 égal à 5, n-4 égal à 7. En fait, ça veut dire que je veux que n soit égal à tous ces nombres plus 4. Donc 5, 9, 11, 39 pour les 4 premiers, moins 31, moins 3, moins 1, 3 pour les 4 derniers. Il n'y a pas 4 dans l'ensemble. Je suis bon, j'ai trouvé l'ensemble des solutions entières. Voilà, j'espère que ça vous a aidé. Je vous retrouve pour une prochaine vidéo.

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