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Algèbre

Complexes : vision algébrique

Dans ce cours, nous apprenons une méthode classique pour trouver la forme algébrique de certains nombres complexes. L'objectif est de se débarrasser des racines au dénominateur en multipliant par la quantité conjuguée. Par exemple, nous pouvons multiplier par racine de 5 moins 1 pour obtenir une quantité sans racine. Cette méthode s'applique également aux nombres complexes. 

Nous faisons ensuite un exemple détaillé pour illustrer cette méthode. Nous utilisons ensuite cette méthode pour résoudre une équation. Il est important de se rappeler que peu importe ce qui se trouve dans le numérateur, seule la méthode de multiplication dépend du dénominateur. 

Il est crucial d'être sûr de sa méthode et de ne pas se laisser perturber par des facteurs externes. L'objectif est de garder la tête froide et d'avancer avec la méthode apprise. 

En utilisant la méthode de multiplication par la quantité conjuguée, nous résolvons l'équation donnée pour trouver la valeur de z. 

En résumé, ce cours présente une méthode fondamentale pour exprimer les nombres complexes sous forme algébrique. Il est important de la connaitre par cœur afin de l'appliquer efficacement lorsque cela est nécessaire.

On va voir une méthode très classique ici pour trouver la forme algébrique, c'est à dire sous la forme z égale a plus ib, de certains noms complexes. Parfois, il arrive que dans les exercices ce ne soit pas toujours évident et qu'il y ait tout un travail à faire pour l'obtenir. J'ai envie de vous faire un rappel déjà sur certains noms que vous avez vu au lycée, du genre 1 sur racine de 5 plus 1. On vous a toujours dit on n'aime pas les racines au dénominateur. Et donc, il y avait quelque chose d'astucieux et d'intelligent à faire, qui était de multiplier en haut et en bas par un nombre bien choisi pour qu'en bas, on finisse avec un nombre qui soit sans racine. On appelait ça la quantité conjuguée. Regardez ici, je multiplie en bas par racine de 5 moins 1, ça va me faire une petite identité remarquable ici, qui va valoir 5 moins 1, c'est racine de 5 au carré moins 1 au carré, qui sera donc un nombre sans racine. On appelait ça la quantité conjuguée. En gros, c'était quant à racine plus racine, par exemple, il faut multiplier par une quantité qui est la même. Donc au lieu de passer de racine de 3 à plus racine de 2, il faut multiplier par la même chose avec un signe moins. Et réciproquement, si vous avez un signe moins, multipliez par la quantité qui est la même avec le signe opposé. On va avoir la même chose en complexe. Donc ici, je vous explique la quantité conjuguée dans le cas des complexes. Je vous ai fait un cas très détaillé ici, et le cas un peu plus théorique pour ceux qui ont vu, enfin plus compact, pour ceux qui ont déjà vu ce que c'est, donc je ne vais pas trop insister là-dessus, pour ceux qui ont déjà vu ce que c'est le module. Donc si je prends l'écriture 1 sur a plus ib, imaginons, on va voir un exemple juste après, ça peut être 1 sur 2 plus 5i par exemple. Je vais multiplier la structure par a moins ib sur a moins ib, qui vaut 1. Faisant ça, je me retrouve en bas avec a moins ib fois a plus ib. Ça, identité remarquable, ça fait a carré moins i carré b carré, i carré valant moins 1, ça me fait a carré plus b carré. Et j'obtiens donc a moins ib au-dessus, a carré plus b carré en dessous. Je peux séparer les deux, j'ai bien non pas du i en bas, mais d'abord une partie réelle, plus i fois une partie imaginaire. J'ai décharché le moins, la partie imaginaire ici est moins b sur a carré plus b carré. Appliquons-le ici dans un exemple, on a cette équation, et on veut regarder combien vaut z. Première chose, 2 moins 3i est non nulle, je peux donc diviser par 2 moins 3i de chaque côté. Ensuite ici, on pourrait se dire, attention, qu'est-ce qui se passe ? Moi je vais faire mes opérations, là je vais multiplier sûrement par ce truc là, on m'a dit mais avec un signe plus, donc 2 plus 3i. Et qu'est-ce qui se passe ? En haut j'ai un truc qui ressemble. Peut-être que vous ne vous dites pas ça, mais si vous le dites, je veux l'adresser. C'est-à-dire en fait, ici, je pense que l'exercice a délibérément choisi d'essayer de vous perturber, de vous faire trembler dans vos fondations. Au lieu de mettre 5 plus 8i, celui-là a un truc qui n'a rien à voir en haut, parce qu'en fait l'idée c'est ça, c'est que quoi qu'il se passe en haut de la fraction, on s'en fiche, on applique toujours la même méthode et la multiplication qu'on va effectuer ne dépend que de ce qui est en bas. Je pense que là ils ont volontairement voulu vous perturber à mettre un truc en haut qui ressemble un peu. Donc si vous n'êtes pas très sûr de votre technique, pas très sûr de vous, vous allez commencer à vous poser des questions qui ne sont pas utiles, du genre, ah zut, mais pourquoi c'est la même chose, et donc je ne fais pas ça. C'est pour ça qu'il faut être très très sûr de son fait et bien apprendre son cours. Il faut ne pas, en gros, ne pas subir un peu le coup de pression de perte de confiance qui peut être engendré par ce genre de, pas de piège, mais de dénoncés. Qui sont délibérément là, je pense, ma connaissance de prof de maths et de comment les énoncés sont faits, délibérément là pour tester, en gros, votre capacité à garder la tête froide et à avancer avec votre méthode sans être dérangé. Quand j'applique les propriétés, je multiplie en haut et en bas par quoi la quantité conjuguée de cette quantité là, c'est à dire 2 plus 3i sur 2 plus 3i. En bas, ça va faire du a2 plus b2, 2 carrés plus 3 carrés, l'idéal 13. En haut, je peux, en effet, utiliser une petite identité marquée pour me rendre compte que, en fait, j'ai peut-être une facilité de calcul ici, 2 plus 3i, 3i moins 2, c'est un a plus b, a moins b, c'est un b2 moins a carré ici. Je peux trouver tout de suite le nombre et je trouve donc z égale moins 9 moins 4 sur 9 plus 4 en l'occurrence, ça fait moins 1. Voilà, en tout cas, je vous le présente avec un exemple tout bête, ça c'est une méthode typique, vraiment à connaître par coeur, très fondamentale pour pouvoir exprimer vos nombres complexes sous forme algébrique quand vous en avez besoin. Voilà, posez des questions si vous en avez, n'hésitez pas à discuter et sinon je vous retrouve dans la prochaine vidéo, bye bye.

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