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Algèbre

Complexes : vision algébrique

Ce cours aborde une méthode classique en mathématiques qui est souvent utilisée dans des exercices plus complexes. La méthode consiste à trouver l'ensemble de valeurs d'un complexe "z" pour lesquelles une quantité donnée, appelée "grand z", est réelle. On utilise la méthode de la quantité conjuguée pour simplifier l'expression et obtenir une conclusion. Dans cet exercice, on nous donne un petit z qui n'est pas égal à moins 1 et on nous demande de trouver les valeurs de ce petit z pour lesquelles grand z est réel. En utilisant la méthode de la quantité conjuguée, on développe l'expression et sépare les termes réels. On simplifie ensuite l'expression et on trouve que b doit être nul pour que le petit z soit réel. La solution finale est donc l'ensemble des nombres réels à l'exception de moins 1.

classique de chez classique, en complexe, un exercice, en tout cas une petite méthode qu'on voit tout le temps, qu'il faut vraiment savoir faire très très très rapidement pour les cas simples comme celui que je vais présenter, parce qu'ensuite c'est souvent la source d'exercices beaucoup plus complexes se basant sur cette méthode, enfin c'est souvent des exotiques que vous allez retrouver en DS qui vont être un peu des dérivés de ce genre de méthode. On vous dit, on a un petit z qui n'est pas égal à moins 1, mais c'est un complexe, à part ça, trouver l'ensemble de ces petits z tels que la quantité, on l'appelle grand z, petit z moins 1 divisé par petit z plus 1, soit réelle. Petit bruit en fond, il y a une propriété qui est très simple, de court, z quelconque est un réel, si et seulement si, la partie imaginaire de z est nulle. Bon bah première méthode, très très basique, on fonce, on écrit, on prend pas la tête, on pose a et b appartenant à R, on se lance, soit a, b appartenant à R tel que petit z s'écrit en fait a plus ib, donc on a a, partie réelle de petit z, b, partie imaginaire, on a donc grand z égal, petit z moins 1 sur z plus 1, a plus ib moins 1, a plus ib plus 1. J'ai juste déjà réorganisé les termes pour avoir a moins 1 plus ib, c'est-à-dire partie réelle d'un côté, partie imaginaire de l'autre, et a plus 1 plus ib au dénominateur. Bon bah ayant ça, qu'est-ce que je fais ? Dans la vidéo précédente, ou dans une des vidéos précédentes, vous avez vu que quand on a des complexes en dessous de la fraction, au dénominateur, ce qu'on fait pour s'en sortir c'est la quantité conjuguée. La quantité conjuguée ça consiste à multiplier par ce machin là, où on change le signe entre la partie réelle et la partie imaginaire. On obtient donc cette chose là, qui est un réel ou carré, un petit produit à gérer au-dessus, on développe, je sépare, j'obtiens d'un côté une partie réelle, c'est-à-dire, il y a ce truc là qui est commun toujours, ça fait un peu lourd à l'écran mais en fait c'est toujours la même chose, ça, ça n'a pas changé. Je sépare juste en gros les termes réels de cette multiplication qui sont celui-ci plus celui-ci multiplié par celui-là, donc ça me fait donc a carré moins 1 quand je fais ce produit, plus moins i carré, donc ça fait moins 1 plus fois b carré, donc plus b carré, plus ensuite i fois l'ensemble des autres termes, donc en fait les autres termes c'est i b fois ça et moins i b fois ça. Vous débrouillez, vous voyez que ça fonctionne. J'applique la propriété, grand Z qui est ici sera donc réel uniquement si sa partie imaginaire est nulle, si ce truc là est nul. Bon bah ok, ce truc là est nul, si et seulement si, donc im2z est nul, si et seulement si on a tout ce truc là qui est nul. En fait ça, ça simplifie, il y a du ab qui dégage. Je me rends compte en développant, si et seulement si, 2b est nul, b est donc nul, si et seulement si, petit z est réel. Et donc j'ai ma solution ici. Alors il ne faut pas oublier, petit rappel à la fin, ce n'est pas encore la conclusion. Vu qu'on m'a dit au début, et c'est normal parce qu'on divise par z plus 1 et que z n'est pas dans le moins 1, j'ai dit pour un z qui n'est pas dans le moins 1, je trouve l'ensemble des z réels et donc ça sera l'ensemble des z réels moins l'élément moins 1. Voilà ma solution. Ça c'était une petite méthode un petit peu bourrine, bourrine ça va, mais méthode en gros on pose a et b, on voit ce que ça donne.

Z est-il réel ? V1

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