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Complexes : vision algébrique

Dans cette vidéo, le cours aborde le concept d'équation bicarrée, qui est une équation de degré 4 sans termes en x3 ou x. Pour résoudre ce type d'équation, il est possible d'effectuer un changement de variable pour se ramener à une équation de degré 2 plus facile à gérer.

L'équation bicarrée étudiée dans cet exemple est z^4 + 3z^2 - 10 = 0. En posant z^2 = Z, l'équation devient Z^2 + 3Z - 10 = 0, une équation de degré 2.

Pour résoudre cette nouvelle équation, plusieurs méthodes sont possibles. Dans cet exemple, l'auteur suggère de tester les racines évidentes, et dans ce cas, 2 est une racine. En utilisant le fait que 10 est le produit des deux racines, l'autre racine est -5.

Ainsi, le polynôme a deux racines réelles, Z = 2 et Z = -5.

Ensuite, en résolvant pour z, puisque z^2 = Z, on obtient z = √2 et z = -√2, qui sont les solutions réelles. Cependant, l'une des racines de l'équation initiale étant négative, cela implique l'introduction de nombres complexes.

Ainsi, les solutions de l'équation bicarrée sont √2, -√2, i√5 et -i√5.

En conclusion, pour résoudre une équation bicarrée, il est nécessaire d'effectuer un changement de variable et de gérer les racines de manière logique. Les solutions peuvent être réelles ou complexes, en fonction des conditions de l'équation.

Cet apprentissage permet de comprendre comment résoudre les équations bicarrées et est idéal pour ceux qui souhaitent approfondir leurs connaissances en mathématiques.

Si vous avez bossé sérieusement vos polynômes, vous savez ce qu'est une équation bicarrée. Ici, ce qu'on va faire, c'est soit vous représentez ce que c'est si vous ne connaissez pas, et en tout cas vous la présentez dans un contexte de complexe. Ce qu'on appelle équation bicarrée, c'est une équation de degré 4 en particulier, où on se rend compte qu'il n'y a ni terme en x3, ni terme en x. Et en fait, ce qu'on faisait si vous l'avez fait dans les polynômes, c'est qu'on se rend compte que ça, je peux considérer un grand x et il y a le petit x2, c'est en fait un certain grand x au carré, plus un certain 3 grand x. En changeant de variable, en gros, je peux me rapporter avec cette forme-là, donc qui ne marche pas s'il y a du x3 ou du x, à un polynôme du degré 2. On va le faire ici, on va appliquer la même méthode que la méthode classique, c'est-à-dire un changement de variable, et on va voir si ça change quelque chose, le fait qu'on soit dans les complexes. Donc je la réécris plutôt avec un z, vu qu'on va être dans les complexes, z4 plus 3z2 moins 10 égale 0. On pose grand z égale petit z2. L'équation devient alors z2 grand z2 plus 3z2 moins 10 égale 0. Donc celle qui est là-haut, ici, mais cette fois-ci avec un grand z, et donc avec des puissances plus faibles. On reconnaît un polynôme du degré 2 qu'on sait gérer. Là, on sait le gérer soit avec le delta, soit en étant astucieux. Astuce totale de première, tentez les racines évidentes. 1 moins 1 ne marche clairement pas ici, 2 ça fonctionne. Si vous n'êtes pas à l'aise avec ça, vous faites un delta, ça marche très bien. Mais j'aime bien remarquer les racines évidentes, j'ai toujours le petit réflexe en tête, ça peut me faire gagner du temps, donc je tente à chaque fois. Donc je fais quoi ? 2 au carré plus 3 fois 2, ça fait 6, plus 4 égale 10, ça fait bien une racine évidente. J'ai trouvé deux racines évidentes. Ensuite j'utilise le fait que cette chose-là, moins 10, c'est le produit des deux racines, or les deux racines c'est donc 2 fois z2 égale moins 10, je trouve que l'autre racine c'est moins 5. Ce polynôme a donc deux racines réelles. Très bien. Je vais donc maintenant résoudre pour petit z, puisque là c'est juste une résolution pour grand z, donc j'ai dit que grand z était égale à moins 5 ou 2. Très bien. Petit z, je vais devoir résoudre, ben attends, petit z égale racine de z1 en fait. Je vais devoir résoudre vu qu'on pose petit z2 égale grand z, j'aurais petit z2 égale grand z1, et petit z2 égale grand z2 à gérer. Comme grand z1 égale z2 est positif strict, c'est pas très compliqué. Si petit z2 égale grand z1 avec grand z1 nom réel positif, alors petit z égale plus ou moins la racine de ce z1. Ici c'est donc plus ou moins racine de 2. Très facile. Là où ça score c'est pour le signe ici. Grand z2 c'est négatif, donc là on tombe dans les complexes. Les vrais complexes. C'est-à-dire que là j'ai petit z2 égale moins 5, je suis obligé de l'écrire comme un nom complexe, donc un carré parfait avec l'apparition du i, j'écris i racine de 5 au carré, et donc je comprends que z peut être égal à soit i racine de 5, soit moins i racine de 5. C'est vrai que jusqu'à cette étape-là, j'avais pas encore de complexe. C'est ici quand je vois qu'une de mes deux solutions de mon équation de bi carré était négative, je sens que vont intervenir des complexes. Très bien. En bilan j'ai donc, assez simple, l'ensemble des solutions qui est racine de 2, moins racine de 2, i racine de 5, moins i racine de 5. Pas très compliqué. Faut juste que vous reteniez que quand vous voyez du puissance 4 et du puissance 2 uniquement dans une équation, on appelle ça bi carré, il faut faire un changement de variable, et ensuite gérer la suite de manière assez logique. Sur ce, je vous laisse poser vos questions s'il y a besoin, et sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Equation bicarré complexe

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