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Algèbre

Complexes : vision géométrique

Ce cours traite des racines énièmes de l'unité, qui sont des nombres complexes vérifiant z^n = 1. L'ensemble total des racines est noté comme étant z = E^(2iπk/n), avec k variant de 0 à n-1. La démonstration repose sur le fait qu'une équation de degré n a au plus n solutions, et en substituant différentes valeurs de k dans l'expression, on obtient n valeurs distinctes qui vérifient la condition. On peut interpréter ces racines comme des nombres de module 1, associés à des angles (arguments). Par exemple, pour n=3, les solutions sont 0, E^(2iπ/3) et E^(4iπ/3), correspondant à une division du cercle en 3 parties égales. La méthode pour résoudre une équation z^n = z_0 consiste à exprimer z_0 sous forme exponentielle, puis à prendre la racine n-ième de z_0, et enfin à utiliser le résultat précédent pour trouver les valeurs de z. L'article inclut également un exemple de résolution de l'équation Z-1^n = -2.

Petite vidéo sur le cours à propos des racines énièmes de l'unité. Présentation toute bête, puis ensuite application à un exemple comme ça. Présentation, en fait, on appelle racine énième de l'unité un nom complexe qui vérifie z puissance n égale 1. C'est une définition, c'est tout bête. Donc, on vous dit, on note l'ensemble total de ces racines, ça. Démonstration, vous allez me dire d'où ça sort. Deux choses, on sait que z puissance n égale 1, ça on l'accepte. En gros, c'est une équation de degré n, on sait qu'elle n'a pas plus de n solutions. En terminale, on l'accepte. Ce n'est pas possible qu'il y ait plus de n racines. Bon. Et ici, en fait, ce qu'on vous dit, pour le démontrer, le plus simple, c'est de dire, ben en fait, là, j'ai E de 2i kpi sur n, donc c'est 2i 0pi sur n, ça c'est E de 0, ça fait 1. Ensuite, quand je remplace k par 1, ça fait E de 2i pi sur n. J'en ai plein, donc j'ai n-1 plus 1, donc j'ai n différentes valeurs de E de 2i kpi sur n, qui toutes, mises à la puissance n, valent 1. Donc en fait, voilà des valeurs qui valent toutes 1 quand je les mets à la puissance n, et qui sont distinctes, parce que la dernière, vous pouvez le vérifier vous-même, la dernière ne vaut pas encore 1, elle s'arrête un petit peu avant. Vraie démonstration de ce truc, c'est un peu de dire, ben voilà, là j'en ai trouvé n, elles sont distinctes, je sais qu'il ne peut pas y avoir plus que n, j'ai donc toutes, voici la liste des racines de l'unité. Pour comprendre un peu ce qu'on fait avec les racines de l'unité, on peut comprendre un peu que ces trucs-là sont des nombres de module 1, ce sont des nombres qui s'écrivent donc avec E, i, theta, enfin avec un argument. Et on peut comprendre en fait que z3 égal 1, on a envie de trouver un z tel que, quand je le multiplie 3 fois par lui-même, je retombe sur 1. C'est-à-dire que je veux faire genre xz, xz, xz et retomber sur 1. Donc il y a une idée quand même de rotation, où je veux à chaque coup, à chaque multiplication de mon nombre, vu que mon nombre est associé à un angle, par exemple celui-ci ce serait par exemple π sur 4, je veux qu'à chaque coup en fait je sois capable de retomber, enfin au bout de 3 coups par exemple pour z3 égal 1, sur le 1. Donc on comprend en fait qu'on veut parcourir le cercle et revenir à un point de départ. C'est pour ça que ça s'illustre de cette manière-là, on voit que les solutions de z3 égal 1 sont 0, la deuxième c'est E2i π sur 3, E4i π sur 3, on voit qu'on a divisé le cercle en 3 parties égales. Il y a une intuition géométrique derrière ce résultat en gros. Donc quand on prend n égal 4, on trouve 4 solutions, toujours 1, puis ensuite une qui est ici, ici, ici, elles sont séparées, si vous voulez d'un angle constant, en l'occurrence elles sont séparées de π sur 4. Pareil pour 8, on a toujours un polygone régulier en haut, un octogone régulier. Donc il y a cette intuition-là. Le truc un peu plus technique maintenant, donc là je vous ai fait un petit peu le cours, plus technique c'est comment on résout z puissance n égal z 0, c'est-à-dire un nombre quelconque complexe qui a un module et un argument. Parce que là z puissance n égal 1 c'est simple, toute l'idée ensuite c'est de trouver ce genre de solution, là je vous fais un peu une méthode avancée, z puissance n égal z 0, l'idée c'est qu'on va se rapporter au cas qu'on connaît bien qui est z puissance n égal 1. Donc premier truc à faire c'est écrire z 0 sous forme exponentielle. Donc on trouve qu'il existe θ tel que arc de 0 égal θ, voilà il en existe 1. Je m'arrange pour revenir à z puissance n égal 1, c'est ce que je vous disais, je vais écrire z 0 comme module de z 0 fois e de iθ, forme exponentielle. Je vais mettre tout ça en puissance n, donc ça c'est un nombre positif. Nombre positif, vu que n est un entier, je peux prendre la racine d'énième, donc je peux écrire que c'est z 0 racine d'énième, puissance 1 sur n, fois e de iθ sur n, le tout puissance n. Ça c'est vrai, j'ai mis un petit cœur parce que c'est ça la transformation qu'il faut faire à chaque fois que vous avez un exo plus précis, pas aussi théorique que celui-là, je vais vous le faire après avec un exemple. Donc quand on a ça, je peux diviser par tout ça de ce côté, et me rendre compte que j'ai bien petit z sur ce machin-là, puissance n égal 1. Et donc qu'est-ce que je fais ? Je pose Z égal ce truc-là, et je me retrouve dans le cas Z n égal 1, c'est le cas du cours. En fait on se rapporte au cours, on se rapporte toujours au truc facile qu'on connaît. Moi je connais l'autre cas, je me dépatouille avec une petite écriture pour retrouver un Z puissance n égal 1. Puis j'applique le résultat du cours et je trouve que z égal ça avec k entre 0 et n-1. Et donc j'ai plus qu'à remplacer ensuite Z, c'est ça. Donc si vous voulez, petit z égal tout ça fois les racines de l'unité. Donc c'est bien Z0, 1 sur n, E2i theta sur n fois E2, 2i kpi sur n machin. Voilà comment on le fait dans le concret pour un exemple. Je vous ai mis ensuite un petit corrigé pour cet exercice-là en l'occurrence, où vous avez Z-1 puissance 6 égale ce truc-là, donc moins 2. C'était moins 2, donc moins 2 je le transforme en 2 E2i pi sous forme exponentielle. Je fais la petite transformation que j'ai faite au-dessus, franchement je vous laisse la faire et la tester à la main, parce que je viens de vous la monter dans le cas général. J'obtiens tout ça. J'obtiens donc en conclusion que Z-1 sur machin... J'applique en gros le résultat de Z, Z6 égale 1, j'applique le résultat tout bête, égale tout ça pour ces cas-là, et à la fin j'isole le Z et je trouve l'ensemble des solutions. Donc le plus important pour moi c'est de vous faire le petit rappel sur les racines de l'unité, voir l'intuition géométrique de où se situent ces racines, puis comment on l'applique dans un cas d'une équation quelconque. S'il y a des questions, posez-les en commentaire et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Racines de l'unité

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